Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чеботарев Г.А. -> "Аналитические и численные методы небесной механики" -> 66

Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.

Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики — М.: Наука, 1965. — 368 c.
Скачать (прямая ссылка): anakiticheskayaichislena1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 92 >> Следующая

на VIII съезде Международного астрономического союза (MAC) в Риме в 1952
г. Фактически в астрономических ежегодниках эта поправка учитывается,
начиная с ежегодников на 1960 год.
§ 4. Устойчивость движения Луны по Хиллу
1. Постоянная Якоби. Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел, в
которой два тела конечной массы, Солнце (S) и Земля (7), описывают
круговые орбиты вокруг общего центра инерции, а третье тело - Луна (L)
имеет бесконечно малую массу.
За начало координат примем общий центр инерции О, а плоскость, в которой
происходит движение Земли
- 259 -
17*
и Солнца, пусть будет плоскость ху. Примем, далее, за единицу массы сумму
масс Солнца и Земли, тогда масса Земли может быть обозначена через т, а
масса Солнца через 1 - т. За единицу расстояния примем постоянное
расстояние между Землей и Солнцем, а единицу времени выберем так, чтобы
постоянная Гаусса к=\.
При нашем выборе единиц среднее угловое движение конечных масс равно
где а - 1 - большая полуось орбиты, описываемой Солнцем и Землей
относительно друг друга под влиянием взаимного притяжения по закону
Ньютона.
Предположим теперь, что оси координат вращаются в направлении движения
конечных масс с равномерной угловой скоростью л = 1. Тогда мы можем
направить ось х таким образом, чтобы Солнце и Земля постоянно находились
на оси х.
Пусть х, у, z - прямоугольные координаты Луны. Тогда уравнения движения
Луны для равномерно вращающихся осей запишутся так (ср. с уравнениями (V.
15)):
d*x о dy "_дУ dt* * dt дх '
^н-2 -- u = - (V 174)
dt*^zdt у ду ' IV.1/4J
d2z дУ
dfi ~ dz '
где
у-\,г ZL
г 1 г2
Через гх и г2 мы обозначили расстояние Луны от Солнца и от Земли.
Уравнения (V. 174) имеют интеграл, который был впервые получен Якоби
(1804-1851) и затем применен Хиллом в первом из его знаменитых мемуаров
по теории Луны (Researches in the Lunar Theory, 1878) для рассмотрения
вопроса об устойчивости ее движения. Положим
f/=I(r2+yJ) + 1-^i+^, (V. 175)
- 260 -
тогда уравнения (V. 174) могут быть записаны в виде
d*x ndy _ dU
dt* z dt - дх '
d2y , r, dx _dU
dt* 2 dt ~ dy ' ^V-176)
d*z dU
dt* ~ dz '
Если умножить эти уравнения на 2^, 2^ и 2^
и затем сложить результаты, то полученное уравнение можно
проинтегрировать. Получим
<v-177>
где С-постоянная интегрирования, известная под названием постоянной
Якоби. Численное значение этой постоянной может быть легко получено по
формуле
л 2 (1 - /п) 2т о о
С= ------------ н нг+1/2 -
(V. 178)
если нам известны координаты и скорость Луны для какого-нибудь
произвольного момента времени 7. Если обозначить через хх и х2 координаты
Солнца и Земли (которые постоянно находятся на оси л:), то
г. = \'(х - л:,)2 -+- уг -+- z2,
V -------------- (V. 179)
г 2 = V (х - л:2) +1^ + z2.
2. Поверхность нулевой скорости. Обозначим через v скорость Луны во
вращающейся системе координат. Тогда
*=(SM4MSy- <ул80>
и уравнение (V. 177) может быть записано так:
Vs = 2(7-С. (V. 181)
- 267 -
Так как скорость Луны всегда положительна, то, очевидно, поверхность,
определяемая уравнением
2U- С-О, (V. 182)
является границей, которая отделяет область пространства, в котором
движение Луны возможно, от той части пространства, где это движение
становится невозможным. Поверхность (V. 182) называется поверхностью
нулевой скорости, а движение Луны возможно только в той части
пространства, где
2U-С>0. (V. 183)
Подставляя (V. 175) в (V. 182), можем записать уравнение поверхности
нулевой скорости в виде
" о 2 (1 - т) 2т
XL -+- у1 Ч i -Н = С
г\ г2
или окончательно
2(1 - т)
F(x, у, z) = x- + y2 + -
(х - хх)

v'(-r - JC2)a + }'-+1г
= С. (V. 184)
3. Особые точки поверхности нулевой скорости.
Особые точки поверхности
F(x, у, z) = 0 (V. 185)
определяются уравнениями
(V-186)
которые должны быть решены относительно х, у, z совместно с уравнением
поверхности (V. 185). Для поверхности нулевой скорости легко находим,
дифференцируя (V. 184) по х, у, z
1 dF ч х - хг __ х - лт2
i^ = -(l_m)-?--m-| = 0.
Из последнего уравнения для z сразу находим, что 2=0. Следовательно, все
особые точки поверхности нулевой скорости лежат в плоскости ху. Для
особых точек уравнения движения (V. 176) принимают вид
2 - =0
dt* z dt
^+2§=0, (V. 188)
^-5 = 0
Л* u
и, следовательно, в этих точках не только
dx ___ dy ___ dz rv
dt dt dt '
НО и
d*x d*y d*z л
dt* dt* dt*
Следовательно, если Луна находилась бы на поверхности нулевой скорости в
особой точке, то не только ее скорость, но и ускорение были бы равны нулю
и Луна навсегда оставалась бы в этой точке.
Определим теперь координаты особых точек. Если у=^= 0, то второе из
уравнений (V. 187) дает
1- i = 0, (V. 189)
"¦i r't
которое может быть удовлетворено, если
^ = 7-2 = 1, (V. 190)
т. е. особая точка, Солнце и Земля находятся в вершинах равностороннего
треугольника. Так как у может иметь как положительное, так и
отрицательное значение, то мы имеем две особые "треугольные" точки,
расположенные симметрично относительно оси х. Эти точки называются
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 92 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed