Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
е5) cos (М -+- 2(в) -+-
-(1 - f-1§ е4 - шев)cos 2">+
У (е - ^ е3 ч_ SIеВ) cos (Ш 2о>)ч_
",'?(ег_ЗТе4 + Ш e') cos 2о)) Н|"
845/ з 6505 5\ /6*>f о \
-+- -ад [е3 2704 ) cos ч_ 2'°) ч_
533/ . 13827 "\ " .
-*~'1бЛв -'5330 е )cos(6Af-н2о>)-+-
- 179 - 12*
** cos ОМ+2*)-+-
~*~Щжей cos (8Л/-*- 2<й)] • (IV-29)
Мы получили разложение пертурбационной функции в ряд Фурье вида
Я=2 Д"с cos (jM -н км), (IV. 30)
где у, к- целые числа. Коэффициенты Aj * зависят от переменных а, е, i и
малого параметра J.
4. Возмущения первого порядка. Для того чтобы
фактически проинтегрировать уравнения Лагранжа (IV. 18), нам необходимо
прежде всего получить в явном виде производные пертурбационной функции по
элементам а, е, ... Обозначим
М=е-", и) = п - 2, X = sini, а = ~- (IV. 31)
Тогда
dR _ dR dR _ dR dR dR diR
dt dM ' dn dM * du) ' dw '
dR _ dR dR _ , >2 dR M__a_dR (IV*32)
de de ' di " dX 'da a da
Обозначим далее
Я = --§-/-^Я 1. (IV.33)
Вычислим теперь производные Rx по элементам, ограничиваясь квадратами
эксцентриситета орбиты,
-+- Зе cos 2 M-t- ^ ег cos ЗЛ/J -+-
-+-|-Х2Г - у е2 cos (М-2w)-h
-"-(l -е2) cos(М-+- 2"") -+-
-+- 10еcos(2Л/-+- 2"о) - 7(l - ^е2) X - 180 -
X cos (3M-v- 2(0) - 34e cos (4M -+- 2u>) -
- cos (5Л#-н 2ш)].
= y X |^1 + у e2+3e cos Л/ч-у е2сов2Л/ -+¦
ч-e cos (Л/ -+¦ 2o>) -
-(l - 4 e2) cos (2M -+¦ 2(o) -
-ye cos (ЗЛ/ -+- 2">) - ye2 cos (4 M -+- 2">) J ,
-4- у ^1 - у X2^ [e sin Л/-4- 3e2 sin 2M] -+-
dR,
dt
X2 ?- у e sin (Л/ч- 2o>) -+--+- 2 (l - у e2) s in (2M -+- 2u>) -+--4- у e
sin (3M -t- 2a.) -+- 34 e2 sin (AM -t- 2a.)] ,
"§¦=у X2 [e s in (Л/ -4- 2">)
- 2^1 - 4 e*) s'n (2^ ч- 210) -
- 7e sin (3M-4- 2ш) - 17e2 sin (4Л/н- 2">)] ,
=-4 (i-4 r') [" sin M¦+¦V sin Ш
1 7
-4-у e sin (M-4-2o)) -4- у e sin (ЗЛ/-4- 2u>) -+-
-4- 17e2 sin (4Л/-4- 2">)J ,
(^1____ 3 Г,
<ta - a
Разлагая коэффициенты правых частей в уравнениях Лагранжа по степеням
эксцентриситета и подставляя производные пертурбационной функции по
элементам, получим уравнения вида (IV. 20), которые легко интегрируются в
том случае, когда ограничиваемся возмущениями первого порядка.
Интегрируя, получим
- 181 -
о = q0 ч- 8а ч- Сд
к с О -т~ 'X ~т~ С2>
/ = /0 -+- Ы Ч~ Сд,
2 = 2" ч-82 ч-с,
4>
Я = Яд Ч- ОЯ Ч- С5,
е = е0ч-8еч-Св,
(IV. 35)
где через а0ч-ср е0ч-с2, ... обозначим шесть произвольных постоянных
интегрирования.
Возмущения 8а, 8е, ... напишем опять с точностью до вторых степеней
вксцентриситета включительно
v=V(t)V-4"'-)x
X cos Л/-+-у e2cos2A/j-+-
ч- У (~) sin2/^-у ecos(A/-*-2">)4-
ч-(l - у е2) cos (2М ч- 2<о) ч-
¦+¦ у-еcos(3Мч-2"j)Чуе2cos(4Мч-2<о)~],
= У (^-)* (l - у sin2 /) [(1 ч-1 е2) cos Л#-*-
-+- у е cos 2М ч- Ц е2 cos ЗЛ/J ч-
¦*-тАтГ8Ь|1,'[7(1-
X cos(M4-2<o)4-^e2cos(M-2<о)-
-у е cos (2Л/ч- 2".) ч- у (l - ^ е2) X X cos (ЗЛ/ ч- 2<о) ч- у е cos (4Л/
ч- 2<о) ч-
-+- ^jg- е2 cos (5Л/ ч- 2<о) J ,
8/ = у У (у-j sin / cos i ?-e cos (Л/ч- 2o>) ч-4- (1 - 2e2) cos (2M ч-
2o>) ч-- 182 -
-t~j e cos (3M- 2u>) ч-je2 cos (Ш+2ш)] , 82 =.У (у-)* cos i ?(1 -t- 2e2)
nt -+- 3e sin Л/-4-
-4-у e2 sin 2M-4- у e sin (M-4- 2o>) -
-4 (1 - 2e2) sin (2Л/-4- 2") -
--g"es2n(ЗЛ/-4-2u>) - ye2sin(4Af-+-2o>) J , е8я = -j{~) (cos i - cos2/)
?ел/-4-3e2sinM-4--4-ye2 sin (M -4- 2">) - j* sin (2M -+- 2">) - -
Ie2sin(3M-4-2".)]4-/(4)2X X (l - -y-sm2 (l -4-ye2) sinЛ/н-
h- у e sin 2M -4- Щ e2 sin ЗЛ/J -
" т J &)2 si"2 ' К1 - тe2)sin W 2u>)-
-4e2sin (M-2u>) -4- 5e sin (2M -+- 2u>) -
-4 (i - ^ e2) sin (3M -4- 2a.) -
-у e sin (4M H- 2a>) - y? e2 sin (5M -+- 2a>) J,
8e = 2At) t1 - T si"2 '¦) [0 Iе2) nt -H
H-yesinM-4-y e2sin 2MJh-н-Зу(у) sin2 /-yjesin(M-4-2u>)-4-H~4(l -e2^ sin
(2Л/ -4- 2a.) -+--4-^esin (ЗЛ/-4- 2a.) -4-
(IV. 36)
- 183 -
sin (4Л/ -+- 2<o)] /(~)2 X
X (cos i - cos21) [^(1 -+- 2e2) nt -+- 3e sin M ¦+¦ н-e2 sin 2M -+- у e
jsin (M -+- 2<o) -
-у (1 - 2e2) sin (2 M -+- 2ш) -
--g- e sin (3M -+- 2ш) - у e2 sin (4M -+- 2ш) J.
Шесть постоянных интегрирования a0-\-cu ей-+-с2,
' Cg, 20"
(IV. 37)
•cs, e0-i-ce могут быть определены различными способами. Если мы положим
Ci = - (8а)<=<0,
с2 = - (8е):=<0, с3 = - (S/)/=/e, с4 = - (82)<=<0,
Св = - (И*=<0>
Св = - (8s)<=<" то возмущения элементов вычисляются по формулам 8ха = 8а
- (8а)*-<0,
8хе = 8е - (8е)<=/,, bji = bi - (8/)*=<с>
812 = 82-(82)<=<0,
8хя = 8я - (8я)<=<0,
8хе = 8е - (8е)<=<"
а сами элементы на любой момент времени t могут быть получены так:
(IV. 38)
а-
е-
Аа,
"Iе"
1 h 2 = 20 я = я0-|-8хя, е = е0-|-81е.
(IV. 39)
-184 -
Очевидно, что при t - tn возмущения 81а = 8]е = 81/=
= 8,2 = Sj-rc = 8j6 = 0.
Элементы орбиты а, е, /, 2, л, е называются оску-лирующими элементами на
момент t, а постоянные интегрирования а0, е0, /0, 20, л0, е0 -
оскулирующими элементами для эпохи оскуляции t = t0.
Если ПОЛОЖИТЬ В (IV. 35) C1 - C2 - C3 - Ci - C5 = Ca - = 0, то
а - ап-\- 8а, е = е0-*-8е,
B = <IV-40>
л = л0 -+- 8л, е = е0-*-8е.
В этом случае элементы а, е, 2, л, е называются оскулирующими элементами
орбиты на момент t, а постоянные интегрирования а0, е0, /0, 20, л0, е0
