Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
расстоянием перицентра от узла. Угол отсчитывается от 0 до 360° против
часовой стрелки. Вместо угла "> иногда вводят долготу перицентра орбиты
(я)
71 = ","-!- 2. (IV. 4)
тг - это ломаный угол, который отсчитывается от оси х до линии узлов в
плоскости экватора планеты, а затем от линии узлов до линии апсид в
плоскости орбиты.
Положение спутника на орбите определяется заданием момента Т прохождения
спутника через перицентр орбиты. Вместо момента Т обычно вводят угол М0
по формуле
M0 = n(t0-T). (IV. 5)
Угол М0 называется средней аномалией в эпоху t0. Величина
п = к\]m а_а/>, (IV. 6)
где к = 0.0172020209895, называется среднесуточным движением спутника по
орбите. Эта величина выражается обычно в дуговых секундах
n" = k"\/ma~\ (IV. 7)
где к" = 3548'.'187607, или в градусах
n°r=k°\Jma-\ (IV. 8)
где к° = 0?9856076686.
Положение спутника на орбите в любой заданный момент t определяется углом
M=M0 + n(t-t0), (IV. 9)
который называется средней аномалией.
- 171 -
Мы ввели шесть элементов орбиты спутника, определяющие ориентацию
плоскости орбиты в пространстве (/, 2), положение орбиты в ее плоскости
(ш или п), размер орбиты (а), форму орбиты (е) и положение спутника на
орбите в эпоху (М0).
Зная элементы орбиты, можем вычислить прямоугольные планетоцентрические
координаты х, у, z спутника для любого момента t по формулам
эллиптического движения
где Е - эксцентрическая аномалия спутника, г - радиус-вектор спутника, v
- истинная аномалия спутника, и - аргумент широты спутника. Третье из
уравнений (IV. 10), называемое уравнением Кеплера, решается методом
последовательных приближений. Определив х, у, z, можем найти видимое
положение спутника на небесной сфере.
Если ху у у z - геоцентрические координаты Луны или искусственного
спутника Земли, можно непосредственно применить формулы
где X, Y, Z-известные геоцентрические координаты пункта наблюдения, для
которого вычисляем эфемериду спутника, т. е. находим сферические
координаты спутника а, 8 и р для ряда моментов времени t.
(IV. 10)
И = К + (о,
x - r (cos и cos 2 - sin и sin 2 cos /'),
i/= г (cos " sin 2-ь sin u cos 2 cos/), (IV. 11)
z = r sin и sin /,
(IV. 12)
- 172 -
Если х, у, z - планетоцентрические координаты спутника, то необходимо
предварительно перенести начало координат в центр Земли, а уже затем
применять формулы (IV. 12).
2. Метод вариадии произвольных постоянных.
Несферичность планеты является одной из важнейших причин отклонения орбит
близких спутников от невозмущенных кеплеровых эллипсов. Метод вариации
произвольных постоянных позволяет наиболее простым образом перейти от
невозмущенного движения к реальному.
Мы уже видели, что с помощью формул (IV. 10)- (IV. 11) прямоугольные
координаты х, у, z могут быть выражены как функции времени и шести
произвольных постоянных
Х=/Л*> 2" О*]
У =Л (*• е> MQ, ">, 2, /), | (IV. 13)
* =/з (*, а, е, М0, ш, 2, /).)
Формулы (IV. 13) представляют эллиптическое движение спутника, если под
а, е,... подразумевать постоянные величины. Но эти же самые формулы могут
представить какое угодно движение, и, в частности интересующее нас
реальное движение спутника, если рассматривать а, е,... как
соответствующим способом выбранные функции времени. Поскольку мы имеем
только три условия (IV. 13) для определения шести функций а (/), в
(/),..., можем подчинить эти функции еще трем дополнительным условиям.
Эти дополнительные условия будут состоять в том, чтобы не только
координаты х, у, z, но и их производные х, у, z также выражались через
элементы орбиты по формулам эллиптического движения.
лг = ~^г= (-аРх sin Е -+- a cos fQx cos Е),
г \а ?
у - -т= (-аРи sin Е -t- a cos <pQ" cos Е),
г У а к
z = -¦= (-аРг sin Е -+- a cos <рQ" cos Е),
г \а
где угол <р определяется из условия sin <р = е, а веля
(IV. 14)
- 173 -
чины Рх, Qx,... называются проективными коэффициентами (см. главу I).
Функции времени a(t), e(t),..., однозначно определяемые шестью
уравнениями (IV. 11) и (IV. 14), называются оскулирующими элементами, а
соответствующая им эллиптическая орбита (непрерывно изменяющая свое
положение и свою форму) называется оскулирующей орбитой.
Пусть возмущающее ускорение F вызывается силой, имеющей потенциал. Иначе
говоря, допустим существование такой функции R, что
*.=?• F,=i ¦ F-=t- <IV-15>
Тогда дифференциальные уравнения, определяющие оскулирующие элементы
орбиты, имеют вид (см. приложение 1)
da di~ de 2 dR_ na ' 1-e2 dR 1 1 ft 1C
dt ntfie dM(, na2e du> '
di Ctg 1 dR cosec i dR
dt na2 Vl - e2 <><o n"2Vi_e2 dQ'
dQ cosec i dR
dt ""2 Vi _ e2 di ' dR
d<a ctg i oR + П- e2
dt ~ на2 VI - e2 na-e de '
dMn 1 - e2 dR 2 dR
dt na'le de na da '
Если за основные элементы, определяющие движение по эллиптической орбите,
принять
а, е, I, 2, я, е,
где е- долгота в эпоху, определяемая уравнением
/
X=tf + tc = e+ J ndt, (IV. 17)
^0
то уравнения (IV. 16) могут быть записаны так:
- 174 -
da_2_dR
dt na de '
de ^1 - e2 dR
