Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
dbh
dt
dbl
¦¦ aJia ¦
dt
авЫ
¦ a8bh -
2"
*3*
(111. 115)
dtp
dt
dbq
: a9bq -+- d.
59
dt
¦ aio bP
(III. 116)
где, ограничиваясь первыми степенями da', ое', ...,
4=Mw)V-Mw)°w-
, sin cos e / d2R \° s .
d2 = na -r-1-- (-ГТТ-Г о a' -+-
1 1 -H cos <р V dlda J
¦na
sin <p cos <f ( d2R \° s " 1 -+- cos <f \ dldl' J d*R \",
, / d2R \° * , / d2R Vj.,,
"3 = na cos <p J Sa -*-na cos<^-^jr) U,
- 143 -
, г (d2R \°
dt=^-na cos ?{шг) -
Sin?cos? ( d2R \° 1SE/
1 ч-cos 9 V (Нде'У J
Г / <Э2/? \o
¦|_-iw cos? (дат) -
- na
sin 9 cos 9 / д2Л \° 1",,
- na i-f-cos 9 (та7) J bh '
an ^ _д2Л_\°,
7<V/ '
(&r*
г Vxv
cos 9 V dqdq' J 4 * an ( (ftR \°
(III. 117)
о cos 9
Так как движение Юпитера не испытывает возмущений со стороны малой
планеты, то
М = Ъа'0, bh' = bh'0, Ы' = ЬГ0, Ър' = Ър',
8^ = 8^, 8е' = 8е;. (III. 118)
5. Интегрирование уравнений в вариациях. Рассмотрим интегрирование
уравнений в вариациях (III. 115) и (III. 116). Обозначим для краткости
8а = *!, 8е = лг2) 8Л = х3, Ы = л:4, 8р = xs, bq - хв. (III. 119)
Уравнения (III.115)-(111.116) запишутся так: d*l
dt - a^' dx3__
dt
dx з
dt d.r4
dt
¦ азх1 -
-¦ aSXl -
:a7JC2-
¦ a2X3t
-a4*4,
°вх4.
¦ OgJCg,
(III. 120)
dx.
5
dt
dxa
dt
¦¦ a*x6>
: aiOJC5*
(III. 121)
Обратим внимание на то, что
аваз aias == 0. -144 -
Это дает возможность сразу получить один из первых интегралов
(III. 122)
dx* -^ - 0
а\ dt -
откуда
dt
а.х
4 3'
: а*хд
(III. 123)
где сх - постоянная интегрирования.
Уравнения (III. 120) перепишем следующим образом:
dx\ " ао
-5Г = 61дс2-,--^с1,
dt
dx
'¦ a3Xy ¦
Г=КХ 2
¦a. x.
4Л4"
где
by:
dt
Q\Q± H- floa5
°8
°4
(III. 124)
, b2:
°4°7 n(ln8
°4 °4
Из первого и третьего уравнений (III. 124) находим
-b2^j- -н by = AsCl, (III. 125)
где
^ ___ 0108 - СТ2°7
3 "1
Интегрируя (III. 125), получим
-Ь2Ху -+- ЬуХА = baCyt -+- с2,
(III. 126)
где с2- новая постоянная интегрирования. Совместно со вторым из уравнений
(III. 124) находим, исключая х4,
dx
by - = (Ьуа3 - ауЬ2) Ху -+- ayb^yt -+- а4с2. (III. 127)
Дифференцируя первое из уравнений (III. 124) и исключая х2 при помощи
(III. 127), найдем
еРх
~dfl
/|0 Г. А. Чеботарев
- = (byCt3 -+- atb2) Ху -+- ayb3Cyt -t- а4с2. (III. 128) - 145 -
Соответствующее однородное уравнение
<&Х]
dfi
:а2*1,
(III. 129)
где
имеет решение
х1 = с^е*' -+- с4е~°
(III. 130)
Отметим, что а - малая величина порядка возмущающей массы. Частное
решение неоднородного уравнения (III. 128) ищем в виде
x^A+Bt. (III. 131)
Подставляя в уравнение (III. 128), находим значения постоянных А и В
Л=-3-с,
в=-
Общее решение уравнения (III. 128) будет xl = e3eai -+- cie~'t 4- Bt -ь-
А.
Введем новые постоянные с3 и с4
- __ с3~*~с4 - Сз - Cj
(III. 132)
(III. 133)
2
Тогда
х1 = с3 ch at -I- с4 sh at -i- Bt -i- A, btx2 = a (c3 sh at -+- c4 ch at)
4- В - clf
(III. 134)
ОЛ = в"Д:2+С1"
64д:4 = Ь2х1 -i- b^cfi -i- c2.
Возвращаясь к переменным Лагранжа, можем написать 8а = с3 ch at 4- с4 sh
at-t-Bt-t- А,
6 fie = а (с3 sh at -+- c4 ch at) 4- 5 - clf
а48Л = ae8e 4- clt bfil = 628a 4- bgcfi 4- c2,
- 146 -
(III. 135)
где постоянные интегрирования cIf с2> с3 и с4 выражаются через начальные
отклонения элементов планеты от элементов периодической орбиты следующим
образом:
Cj = </4оА0 OgSsoi
Ч == ЬуЫ0 А28а0,
Ч =z Sflfi А, ас4 = b/je0 - В -+- С
(III. 136)
Переходим к интегрированию системы (III. 121), где а9 = о10 а.
Как хорошо известно, система (III. 121) имеет решение
хя = A sin (at -+- b), хв = А cos (at -+- b),
(III. 137)
где
Л2 = (*1)о-М*о)о
**=&•
где
Возвращаясь к переменным Лагранжа, op = A sin (at -+- b), oq - A cos (at
-+- 6),
8,;, tg4={b.
(III. 138)
б. Вычисление производных пертурбационной функции. Вычисление
коэффициентов, входящих в уравнения в вариациях, сводится к вычислению
вторых производных пертурбационной функции по элементам. Для вычисления
этих производных обратимся к численным методам, одинаково пригодным для
любых эксцентриситетов.
В случае плоского движения выражение для пертурбационной функции имеет
вид
R' = k*m'R, (III. 139)
где
R "Г COS (о/ - w), (III. 140)
Д2 = r2 r'2 - 2rr'cos(o>' -- 147 -
•a"),
(III. 141)
10*
причем to и о/ - истинные долготы малой планеты и Юпитера.
Производная от R по какому-нибудь из элементов орбиты может быть записана
так:
dR_
да
" дг да
dR дги dw да
(III. 142)
Обозначим через S и Т компоненты возмущающего ускорения по радиусу-
вектору и по направлению, перпендикулярному к радиусу-вектору в плоскости
оскули-рующей орбиты
Q_dR
dF'
T_\_dJR
r dw '
Тогда
dR ~dr jidw
da da Г da
(III. 143)
Выражения для S и T легко находим простым дифференцированием (III. 140)
[j5 - тг] r> cos (о/ - го) - -р. Т= [-^з - рд-] г' sin (о"' - о").
(III. 144)
Дифференцируя (III. 143), получим общее выражение для интересующих нас
вторых производных пертурбационной функции
d*R _ у (fir dada' дада'
dS dr да' да
j, дШо rpdr dm dT dw Г дада' да' да Г да' да
(III. 145)
Производные S и Т по элементам, а также производные г и w легко находим
