Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
вокруг данной точки либрации.
Одновременно и независимо от работ Копенгагенской обсерватории численные
методы для разыскания периодических решений в ограниченной задаче трех
тел были применены Дарвиным (1845-1912). Для соотношения масс Дарвин
принял тг: ml = 1: iO. Вначале Дарвин пытался интегрировать
дифференциальные уравнения движения при помощи гармонических рядов.
Однако чрезвычайно медленная сходимость разложений заставила отказаться
от этого пути.
Для того чтобы получить некоторую необходимую точку опоры в своих
исследованиях, Дарвин проводит тщательное изучение при помощи интеграла
Якоби областей возможных движений. Эти исследования являются
непосредственным продолжением известной работы Хилла о поверхностях
нулевой скорости в движении Луны. Предметом работы Дарвина является также
исследование устойчивости периодических движений. Дарвин надеялся, что
исследование этого вопроса прольет свет на экспериментальный закон
планетных расстояний Боде.
4. Уравнения в вариациях. Вероятность того, что начальные условия,
приводящие к периодическому решению, могут иметь место в движениях тел
солнечной системы, равна нулю. Но если начальные условия реального
движения очень мало отличаются от тех, которые
- 138 -
соответствуют периодическому решению, то можно ожидать, что реальное
движение также будет мало отличаться от движения по периодической орбите,
и, следовательно, периодическая орбита может быть использована в качестве
промежуточной орбиты.
Рассмотрим периодическое движение, определяемое орбитой Пуанкаре второго
типа.
Вместо элементов е, я и /, 2 введем, следуя Ла* гранжу, новые переменные
Уравнения Лагранжа преобразуются следующим образом:
A = esin:t, /> = tg/'sin й,
l = e cos гс, </ = tg/'cos2.
da 2 dR
dt na dt '
1
na2
I 1-t-Vl
1-нр2-н<?2 ^
+- \/l -H р2-н <j2
dp _ 1 (1 -f- p2 + <у2)Э/з dR
dt na2 Vl - A2 /2 dq
1
P (1->-р2-*-<?2)
X
na2 (1 _h >/l -f- p2 -f- q% ) (1 - A2 - /2)
- 139 -
dq 1 (1 p'2 q~) dR
~dt na'2 v^l - Л2 - /2 dp
1
<7(1-
<72)
X
..(dR, OR ,
л________2 л/г ^ l
dt na da na'2
X
1 -f- p- -f- q2
(l-KV'l dR
w / \
pl^.ql)yj\-h'l-l'2 dR
X
1
v'l - A2 - I'2 I dR L , dR Л
a'2 1-f-v'l - A2 -/2 ' ')Л <W /
(III. 106)
где
/2
R = m! {M-+-N[_}i- -+¦ P -+- А'2 -+- /'2-/>2 - 92-/ - <7 -+- 2 (/>/>' -+-
qq')] - 2P(hh! -+-11')
В случае периодического движения
е° = 0, А° = 0, 1° = е, ра - 0, q° = 0, е' = 0, А' = 0, = />' =
0, 9' = 0,
а потому
( dR \° _{ dR \Q _f dR \Q _( dR \°_п
\ д* ) -\dh ) -\dP ) -\ dq ) -U-
Производная
так как по условию существования периодических орбит Пуанкаре второго
типа эксцентриситет периодической орбиты определен таким образом, что
т'=".
Пертурбационная функция R содержит только вековые члены и члены,
становящиеся вековыми вследствие соизмеримости.
- 140 -
Таким образом, движение малой планеты происходит по неподвижному вллипсу,
причем среднесуточное движение будет отличаться на постоянную величину
от невозмущенного значения.
Уравнения периодического движения запишутся так:
Рассмотрим движение, близкое к периодическому движению, определяемое
злементами
а = a0 -t- 8а, е = е° -ь 8s, А = Л° -t- 8А, I - 1° -t-Ъе,
где 8а, 8е, 8А, 8/, Ьр и bq - малые величины, квадратами которых можно
пренебречь. Задача заключается в том, чтобы определить величины 8а, 8е,
... как функции времени.
Разлагая правые части уравнений (III. 106) в ряд Тейлора и ограничиваясь
только линейными членами вариаций, получим следующую систему уравнений:
^- = 0 - = 0 - = 0 - = 0 dt и' dt ' dt ' dt
п° = п -t- g, п = ка~3 \
(III. 107)
Р=Р°-*-8р, <7 = <7° -ь bq,
(III. 108)
dbl ______________ 1 / (PR sin 9 cos 9 dzR \°
(III. 109)
- 141 -
где
л° = л-+-?, g - g°-t-bg, (III. 110)
Элементы в правых частях (III. 109) и (III. 110) соответствуют
периодическому решению.
Обозначим
а1=2лаг(-?г)0'
а2 = 2ла2(ж)0'
sin 9 cos 9 I d3R y>
°3 Па 1 -+- cos 9 \ dodl ) '
sin ф cos ф / (J2# \°
а4 = ла-=-1------- (-туз-) .
4 1 -f- cos 9 V, d/2 ! '
/ (J2/? \0 a5 = nacos?^w),
/ (J2* \0
a" = na cos ,
a7 = -an cos <p
| <)2# j° sin 9 cos 9 ^ iftR )
1 -f- cos 9 \ d e2 / *
i.
9
/ <)2# \(r) sin 9 cos 9 / d2# \0
a8 =-an cos ,
an ( d3R \°
Q* cos 9 \ (fy2 ./ *
on / d2# \°
- 2; -
(III. Ill)
10 cos 9 \ dp2 У *
Тогда уравнения в вариациях запишутся так:
dba
dt
dbt
dt
dbk
dt
dbl
dt
¦¦ ctjbe -+- а28Л,
"тт- = а38а -+- а48/,
<ЛА _____ № "I
-37- = а58а-+-ав8/,
<Ш л s, -т- = а7ое-+-а88Л,
(III. 112)
- 142 -
dtp
dt
dbq
dt
¦ a9bq,
'¦ aufiP'
(III. 113)
Пусть элементы орбиты Юпитера а', е', . .. также отличаются от элементов
Юпитера, принятых при построении периодической орбиты. Положим
о' = (а7>-"-8а'| р' = (р')° -+- Ьр\
•' = ("7"?' = (?'f + y, H = п' - (ri)° -+- 8n'.
/' = (/')° -+- 8/',
(III. 114)
Тогда системы (III. 112) и (III. 113) заменяются системой линейных
неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
dba
dt
dbe
= cty 8e ¦
¦ a2bh ¦
dt = a$a '
¦ a$l + d,t
