Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
0.10 0.0060379 0.34 0.0202392 0.58 0.0333726
0.12 0.0072414 0.36 0.0213875 0.60 0.0343837
0.14 0.0084426 0.38 0.0225281 0.62 0.0353776
0.16 0.0096411 0.40 0.0236605 0.64 0.0363529
0,18 0.0108366 0.42 0.0247841 0.66 0.0373080
0,20 0.0120286 0.44 0.0258989 0.68 0.0382412
0,22 0.0132167 0.46 0.0270022 0.70 0.0391503
0,24 0.0144005 0.48 0,0280955 "
Рассмотрим в качестве примера периодическую орбиту а = 0.70, е =
0,0391503,
Так как
а' = 5,20256,
то большая полуось малой планеты будет равна
а = 3.64179.
- 134 -
Долгота перигелия Юпитера для эпохи 1925 янв. 1.0 всем. вр.
1г' = 13?114,
а долгота в орбите для того же момента
Х' = 277?188.
Отношение -?¦ определяется равенством
JL=!L-{l+mri,a-S q п ' '
так как т' = 1:1047.355 и а = 0.70, то i = l-70666=g|.
Таким образом, условия периодического движения сводятся к следующим:
0 = 3.64179, тс== 13?114, е = 0.0391503,
Х0 = 113?066,
1=0.
Просматривая каталог малых планет, находим, что этим условиям
сравнительно хорошо удовлетворяют, например, элементы малой планеты
Хельга (522).
а = 3.6230, я = 1.36, е = 0.0852, л0 = 116?21,
/ = 4.417.
Пользуясь табл. 21, можно подобрать периодическую орбиту очень близкую к
реальным элементам той или иной малой планеты.
В случае больших эксцентриситетов пользоваться разложением
пертурбационной функции невозможно и приходится прибегать к численному
решению уравнения (III. 103). Для различных соизмеримостей можно
построить следующие периодические орбиты Пуанкаре второго типа (табл.
22).
-135-
Таблица 22
№ Соизмери- мость п° *0 - *' р*о - <Ро
1 3:4 400" 0° 0° 21?72
2 2:3 450 0 0 30.00
3 2:3 450 180 0 26.75
4 1:2 600 0 0 45.02
5 4:9 675 0 0 1.93
6 4:9 675 0 180 1.91
7 3:7 700 0 0 1.95
8 3:7 700 0 180 1.79
9 3:7 700 180 180 9.14
10 2:5 750 0 0 2.43
11 2:5 750 0 0 14.9
12 3:8 800 0 0 1.74
13 3:8 800 0 180 1.72
14 1:3 900 0 0 4.43
15 1:3 900 0 180 6.49
Рассмотрим случай соизмеримости Jsfs 14 (табл. 22).
Элементы Юпитера Эпоха 1925 янв. 1.0 всем. вр.
п' = 299^128,
Х; = 264?08, я' = 0.00,
<?' = 2.773,
/г = 1?3.
За начало счета долгот принята долгота перигелия Юпитера в эпоху
it' = 13?ll,
отсюда условия периодического движения
п = 897^384,
* = 0?00, зх;_ х0=о?оо,
<р = 4?43.
- 136 -
К этим условиям близки элементы трех малых планет
Людовика (292)
Валькирия (877)
Лиоба (974)
п = 881'.'552, 318?5,
905:100,
18?4,
311?5,
8?9,
894"498,
18.2,
44?0,
8?4.
зх;-х0= 3?9, <Р = 1-6,
3. Численные методы изучения периодических орбит. Рассмотренные нами
классы периодических орбит далеко не исчерпывают всех возможных
периодических движений в ограниченной проблеме трех тел.
Наиболее обширное и полное изучение периодических движений, возможных в
ограниченной проблеме, проведено в работах Копенгагенской обсерватории.
Задача была сформулирована следующим образом.
Две равные массы т1 и т2 движутся вокруг оощего центра тяжести под
действием взаимного притяжения: условия движения выбираются таким
образом, чтобы оно происходило по круговым орбитам с постоянной
скоростью. Требуется изучить движение третьей бесконечно малой массы,
притягиваемой по закону Ньютона обеими конечными массами и движущейся в
той же плоскости.
В то время как Пуанкаре в ограниченной задаче полагает одну из масс малой
по сравнению с другой, в работах Копенгагенской обсерватории раз навсегда
было принято отношение т1 = т.г с тем, чтобы возможно дальше отойти от
теории возмущений в нашей солнечной системе. Бессилие общей теории
заставило прибегнуть к численным методам интегрирования дифференциальных
уравнений движения.
Программа исследований включала изучение следующих групп орбит.
A. Периодические орбиты вокруг каждой из обеих конечных масс.
B. Периодические орбиты вокруг обеих масс.
C. Периодические и асимптотические орбиты вокруг либрационных точек
Лагранжа.
Обозрение различных типов периодических и асимптотических орбит
потребовало огромного вычислительного труда, но зато привело к открытию
ряда интересных случаев движения, существование которых не могло быть
указано заранее и никем до тех пор не подозревалось.
- 137 -
Программа работ Копенгагенской обсерватории включала, однако, еще одну
очень важную задачу: проследить развитие каждого класса периодических
орбит от его естественного начала до конца.
Рассмотрим, например, класс обратных периодических орбит вокруг двух
конечных масс тt и тг. Этот класс заключает в себе бесконечное число
периодических орбит. На бесконечно далеком расстоянии происходит движение
по орбитам, близким к окружности. По мере приближения к массам /п1 и т.г
орбиты становятся все более и более сплюснутыми.
Заканчивается этот класс прямолинейным колебательным движением между
точками /п, и т.г с бесконечно большой скоростью в каждой точке орбиты.
Мы имеем, таким образом, замкнутый в себе класс орбит с естественным
началом и концом. Оказалось также, что положение равновесия массы в
либрационной точке является предельным случаем периодического движения
