Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
i\p -+- i2q = 0. (III. 89)
Поэтому можем написать
i\ = sq, i2 = -sp, где s - любое целое число. Тогда
[7П - ^К{ cos [s (qu -ри') -+- />]
i
(s = 0, 1, 2, 3, ...).
Как показал Пуанкаре, искомые значения у0, и0 и vQ могут быть найдены,
если их определить из условия, что функция [/'J этих величин имеет
максимум или минимум, т. е. определить их из условия
Ш1=_Ш.=Ш.=0, (Ш. 90)
дуо дио OV0 ' ' '
причем после интегрирования мы должны подставить вместо х, у, и, и' и v
их значения при ? = р = 0. Тогда два последних из уравнений (III. 90)
принимают вид
2 sqK{ sin (squ0 -+-1>0) = 0,
* , .ч n СП. 91)
2 isKf sm (sqn0 -+- i3v0) = 0.
i
Эти уравнения будут удовлетворены, если
v0 = 7i0 - я' = 0, 180°,
9u0 = 180°r, г = 0, 1, 2, 3, ...
- 130 -
Остается рассмотреть первое из уравнений (III. 90)
УП-.0.
Переходя к обычным переменным, получим
4^ = - Vo(1-g2). -^- = 0, (III.92)
де ауо ае де ' 7
откуда
i?i=o. (ill. 93)
Если условие (III. 93) выполнено, то уравнения Лагранжа (см. приложение
1) непосредственно дают
¦$¦ = 0, (III. 94)
т. е. линия апсид малой планеты неподвижна.
Из уравнения (III. 93) можем определить эксцентриситет периодической
орбиты.
2. Периодические орбиты Пуанкаре. Продолжение. Пусть элементы орбиты
малой планеты
а, е, я, в
и Юпитера
а', е', я', е'.
Введем далее среднюю долготу в орбите
X = е -+- J* ndt и X' = г' -+¦ J* nldt,
которую в дальнейшем будем называть просто долготой.
Условия существования периодических орбит второго типа сводятся, как мы
только что видели, к следующему:
1) средние движения малой планеты и Юпитера должны быть строго соизмеримы
_Е.
п' g '
где р и q - два числа, взаимно простые;
2) линии апсид обеих планет в начале движения совпадают
я"-я' = 0, 180°;
- 131 - 9*
3) перигелий малой планеты должен быть неподвижен. Это требование
удовлетворяется, если
де
где [/?] содержит только те периодические члены, которые становятся
вековыми вследствие соиамеримости, т. е.
-+- i2q = 0;
4) средние долготы планет X = е -н J ndt и X' = е' -+-
J n'dt должны в начальную эпоху удовлетворять соотношению
рУ0-д\ = 0, 180°.
Пренебрегая в пертурбационной функции короткопериодическими членами,
можем написать
[/?] = т' j" Д, -"- 2 Л cos (jt н-Ьч- *V) J % (III. 95)
где
5 =р\' - qK
Ось х направим в перигелий Юпитера, т. е. положим я' = 0, тогда
я = 0,180°. (III. 96)
Производные пертурбационной функции по элементам
6ЮЧ?)=0. (Ш.97)
Индекс нуль указывает, что производные вычислены для элементов
периодической орбиты. Уравнения Лагранжа принимают вид
- = 0 *1 = 0 * = о
dt ' dt ' dt
de__ 2_ (dR\° (III. 98)
dt na \da)
Из этих уравнений следует, что движение малой планеты будет происходить
по неподвижному эллипсу с элементами
о = о°, е - е°, я = я°, е = е° -j- gt, (III. 99) - 132 -
Большая полуось орбиты а° находится из условия соизмеримости средних
движений; эксцентриситет периодической орбиты е определяется из уравнения
(III. 93); долгота перигелия - я = 0,180°. Начальная долгота определяется
из условия 5 = 0, 180°.
Среднесуточное движение малой планеты отличается от невозмущенного на
постоянную величину g порядка возмущающей массы
n° - n-b-g,
п = ка~\
g==-±m°,
па \<?а /
(III. 100)
Фактическое существование периодических орбит второго типа впервые
показал Хилл. Хилл рассмотрел два случая соизмеримости |р - <7|<^7
("острая соизмеримость") и | р - q | ,~> 7.
Если |р - <?! большое число, то в разложении пертурбационной функции
можно ограничиться только чисто вековыми членами (/j = /2 = 0).
Отбрасывая члены, которые исчезают при дифференцировании по е и
пренебрегая членами восьмого порядка относительно эксцентриситетов,
получим
[/?] = Ахе- -+¦ А2е* -+- А^вле- -+- Л4е8 -+- А-е'2е* -+- А6вАе- -
- {A-fi'e -+- А8е'е:> -+- А0е,3е -+- А^е'е* -+- А^е,3е3 -+-
-+¦ Апе'3е) cos (я - к') -+- (Апе,2е2 -+- Ане,2е* -+- А15е'*е2) X
X cos 2 (" - я') - Аие'3е3 cos 3 (я - it'), (III. 101)
где А - положительные коэффициенты, зависящие только от а = -j-p.
Дифференцируя по е и полагая
я - ir' = 0, 180°,
получим
= =s=C4;e' н- Л0е'3 н- Л]2е'5) н- 2 [Д -н (А3 н- Л13) е'2 -н
-+¦ (А5 -+¦ Л15) ел] е 4=3 [Аве' -+¦ (Ди -+¦ А1й) е'3] е2 -+¦
-+¦ 4 [А2 ¦+¦ (Д5 ¦+¦ /4Н) ел\ е3 =ь 5Д10е'е4 -+-
-нб/V5, (III. 102)
где верхний знак соответствует я - я' = 0, а нижний
- 133 -
знак к - п' = 180°. Эксцентриситет периодической орбиты е° определяется
из условия
^7 = 0. (III. 103)
Из выражения (III. 102) непосредственно видно, что положительное значение
эксцентриситета соответствует случаю
* - я' = 0. (III. 104)
Полагая эксцентриситет Юпитера е' = 0.04825336 и ограничившись верхним
знаком в выражении (III. 102), получим значение е° для любого <*.
Хилл приводит таблицу, дающую е° для значений а от а = 0.01 до а = 0.70
через 0.02 (табл. 21).
Таблица 21
а е° а е° а ""
0.02 0.0012091 0.26 0.0155796 0.50 0.0291772
0.04 0.0024178 0.28 0.0167534 0.52 0.0302466
0.06 0.0036258 0.30 0.0179216 0.54 0.0313029
0.08 0.0048326 0.32 0.0190838 0.56 0,0323453
