Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Rdv -+-
(III. 60)
обращаются в нуль.
Тогда из уравнения (III. 52) имеем
где
k\P
(?)".=*.JVfo-^=o.
Так как 8r = 0, то из последнего равенства находим
(III. 65)
Тогда условие (III. 61) дает
c.i = -Klv,-^\^^Tdv-2'^dv. (III. 63)
Далее из уравнения (III. 47) имеем
^ 8r = J [1Ло sin ^ - V)dv Ч"
-+- с, cos v -+- Со sin v = О,
И /,1*ч г Г / in (IIL64)
- ct sin v + c2 cos v = 0.
Умножая последние равенства соответственно на cos v, -sin г", а затем на
sinw, cos г" и складывая, получим
Ci=f[Q('ir)3]osinWv'
С2 = - J [ Q (-у)3], c°s vdv при v = i>0. Наконец, уравнение (III. 46)
дает
?8Z = I [Z )3]osin ~ V) dv ¦Ь
-+- с4 cos v -+- с5 sin v = 0,
S (x?L,=\[z i-?)1!1,in<(r) -")'iv -
- с4 sin w + c5 cos v = 0.
Умножая первое уравнение на cos v, а второе на -sin v, а затем
соответственно на sin v и cos v и суммируя, получим
с*=-10 (f)1]. sto,'A'- .... ._
при V = Vq.
Элементы орбиты Цереры для момента / = 0 при данном выборе постоянных
интегрирования носят название оскулирующих элементов.
Второй способ. Можно просто положить все постоянные интегрирования
равными нулю. В этом случае элементы орбиты малой планеты при / = 0 уже
не
- 115 - 8*
(III. 66)
будут оскулирующими элементами. Элементы орбиты, н являющиеся
оскулирующими, называют средними элементами. В зависимости от метода
определения постоянных интегрирования возможны различные системы средних
элементов.
11. Разложения в ряды Фурье производных пертурбационной функции. Наша
задача заключается теперь в разложении в ряды Фурье по кратным истинной
аномалии возмущаемой планеты величин R', Т и Z (см. (III. 28)).
Вычисления следует производить в следующем порядке. Сначала по известным
элементам Цереры и Юпитера
М0:
М'0, а\
2, . О' /'
вычисляем по формулам (III. 22) угол взаимного наклона J и дуги N и N'.
Затем, разделив окружность на к частей и полагая
последовательно и = О, " 2 р, ... {к - 1) р * ВЫЧИСАИМ
- е . v
-.К?'
г = а(1 -ecosE),
М= Е-esinE
(III. 68)
для каждого значения v. Разделим теперь окружность на к' частей. Полагая
последовательно = - г/ = 0,
2и а 2я ... ,у 2я ,
р-, 2-р-" ••• [к--Ир"* вычислим для каждого го и для равноотстоящих
значений v, кк! величин
M' - v-t-w' - n(v - М),
Е' -е'sin Е' = М\
cos
. v' Е'
g 2 V l-e'tS 2 '
г' = а! (1 - е' cos Е'),
1 = чУ -t-m' - N',
Н- cos (/' - I) - 2 sin / sin /' sin2 -j, Д2 = r2 -+- r'2 - 2rr' cos H.
(III. 69)
- 116 -
После этого по формулам (III. 28) вычисляем кк! значений /?', Т и Z, по
которым /?', Т и Z могут быть разложены в ряды Фурье следующего вида:
2 \Aw cos (iv -н i'zv') -+- Вц' sin (iv -+- /W)] (III. 70) / i = 0, =fcl,
=s=2..., \
U = 0, -1, -2....) •
Метод такого разложения хорошо известен.
12. Вычнсленне возмущений. Обратимся теперь к формулам (III. 46), (III.
47) и (III. 52).
Для вычисления возмущения радиуса-вектора or по формуле (III. 47)
необходимо предварительно вычислить величину Q по формуле
Q=г0/?'-н2 j(/?' *? + rJ^)dt + c. (III. 71)
В этом выражении мы должны перейти от переменной t к истинной аномалии v
Цереры. Для этого достаточно заменить
^dt = d\ = dv,
J?dt=^dv = ° j.1 ~ g2) g 5\Г dv.
at dv (1 -I- e cos v)~
Положим для краткости
DU О (1 - e2) e Sill V D,
Г\ ¦ л\ •
(l"+-"COSv)2
Тогда для вычисления Q будем окончательно иметь следующую формулу:
Q = r0/?,-t-2f(/?"-t-r07,)t/u-t-c. (III. 72)
Получив выражение для 8г, вычисляем возмущение долготы 8Х по формуле
(III. 52).
Возмущение bz определяется по формуле (III. 46). Перейти от возмущения bz
к возмущениям широты §{3 не представляет никакого труда, так как
rQb$ = bz.
На этом заканчивается вычисление возмущений первого порядка.
- 117 -
13. Возмущенна первого порядка Цереры от Юпитера. В основу вычисления
возмущений Цереры от Юпитера положены следующие элементы:
Церера Юпитер
Эпоха 1850 янв. 0.0 всем. вр.
М0 = 160°59'42?4, М'0 = 148° 1'58?33,
"= 80 4831.7, 2'= 98 5558.16,
"о = 67 41 23.0, "/ = 272 58 28.56,
/= 10 37 8.2, /'= 1 1841.81,
<Р= 4 2956.9, ?'= 2 4556.93,
|1 = 770Г723907, р' = 299'Л2837656,
е - sin <р = 0.07844412, е' = sin <?' = 0.04825382, а == 2.7673993, а'
= 5.2028029,
т' = \ : 1047.355.
Окружность по а делилась на 16 частей, так что аргумент а принимал
значение 0°, 22?5, 45°, ... 337?5.
Аргументу о/ придавались значения 0°, 15°, 30°, ...
... 345°; иными словами, окружность по о/ делилась на 24 части.
После этого вычислялись вспомогательные величины по формулам (III. 22),
(III. 23), (III. 35) и (III. 68). Затем по формулам (III. 28) вычислялись
kk значений R\ Т и Z.
Разложение величин R', Т и Z в ряды Фурье по аргументам v и "/ не
представляет особых трудностей.
Действительно, обозначая каждую из этих величин через Uможем написать
U=C0 (v) -+- Ci (v) cos о/ -+- С2 (и) cos 2я/ -+--+- С3 (v) cos 3 я/ -+-
... -+- (v) sin го1 -+-
-+- S2 (v) sin 2a;' -+- S3 (v) sin За/
Каждый из коэффициентов этого ряда является функцией v и в свою очередь
разлагается в ряды. Например,
С (a) = a0-*-ai cos v -+- аг cos 2v -+- a, cos За -+-
