Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Общий интеграл однородного уравнения может быть записан так:
z - c1zl -+- c2z2, (III. 38)
где сх и с2 - произвольные постоянные интегрирования.
Рассматривая величины сх и с2 как функции времени, можем сохранить форму
общего интеграла (III. 38) и для неоднородного дифференциального
уравнения (III. 36).
Действительно, пользуясь методом вариации произвольных постоянных,
дифференцируя два раза выражение общего интеграла (III. 38), получим
dz dz\ dzo
~dt'
efiz </2zj </2zg dc\ dz\ dc2 dz% ' '
dfi~°l llfi^Ci~dfi ~dilii ~di ~di
при условии, что
zSw-+-ziir=°- <IIL40>
Подставляя второе уравнение системы (III. 39) в уравнение (III. 36),
можем написать
^"и-41)
Для определения сх и с2 решаем систему двух уравнений (III. 40) и
(III. 41) относительно производных
- 110 -
и . Воспользовавшись интегралом площадей в невозмущенном движении
Го^ = zi^f~z-2^ - k\fPr (III. 42)
будем иметь следующие выражения для определения величин С] и с2:
dc\ z->Q dco z\Q /in
dt~ k^p' dt-kjp'
Интегрируя и подставляя в общий интеграл (III. 38), можно написать
решение дифференциального уравнения (III. 36) в следующем окончательном
виде:
к\]р • z = z2f ZjQdt - zx Jz2Qdt-+-c1z1 -+-c2z2. (III.44)
Если теперь перейти к полярным координатам по формулам (III. 37) и
заменить дифференциал времени дифференциалом истинной аномалии по формуле
(III. 2), то общее решение уравнения (III. 36) можно записать так:
~г * z = J sin (г) - v)*/v-i-c1cosv-i-c2sin'0, (III. 45)
где с, и с, - постоянные интегрирования, a v под знаком интеграла
остается постоянной величиной при интегрировании. После интегрирования
следует положить v = v.
6. Вычисление возмущений третьей координаты *. Применяя формулу (III. 45)
для вычисления возмущения третьей координаты §2, определяемой
дифференциальным уравнением (III. 19), можно написать
oz =jZ sin (v - v)dv-"- c4 cos v -+- c5 sin v, (III. 46)
причем возмущающая сила Z определяется из третьего уравнения системы
(III. 28).
7. Вычисление возмущений радиуса-вектора. Применяя формулу (III. 45) для
вычисления возмущения радиуса-вектора 8г, определяемого уравнением (III.
16), можно написать
•jjj- 8r = J Q sin (v - v) + Cj cos r + c2 sin v, (III. 47)
- 111 -
причем Q определяется из формулы
Последнюю формулу можно на основании (III. 27) переписать в следующем
виде:
Q = г0Я' -н 2 J (/?' ^ -н г0 Г§) Л -н с. (III. 49)
8. Вычисление возмущений долготы. Уравнение (III. 17) для определения
возмущения долготы оХ на основании (III. 27) может быть переписано в виде
Переходя к переменной v и пользуясь интегралом площадей (III. 1), можно
формулу (III. 50) переписать в такой форме
так как d\ = dv (см. (III. 21)).
Интегрируя последнее выражение, можно написать окончательно следующую
формулу для вычисления возмущения долготы:
где К и с3 - произвольные постоянные интегрирования.
Формулы (III. 46), (III. 47) и (III. 52) позволяют вычислить возмущения
первого порядка для долготы, радиуса-вектора и третьей координаты, иными
словами, позволяют полностью построить возмущенное движение малой
планеты.
Семь постоянных интегрирования ср с2, с3, с4, с5, с и К не являются
независимыми величинами, а должны тождественно удовлетворять условию,
которое можно получить, рассматривая выражение для квадрата скорости.
9. Соотношение между произвольными постоянными интегрирования.
Выражение квадрата скорости
(III. 50)
(III. 51)
- 112 -
в полярных координатах на основании формул (III. 12) можно написать в
виде
Соответственно в невозмущенном движении имеем
Уг=(т?)г+'1ф)'- (П1.54)
Образуя разность формул (III. 53) и (III. 54) и ограничиваясь первым
порядком малых величин, получим
^_^ = 2^§ + 2r08r(§f+2r§§§:. (III. 55)
Переходя к переменной v и принимая во внимание формулу (III. 51), можно
выражение (III. 55) переписать в следующем виде:
у*-УЗ=Щх
го
(III. 56)
С другой стороны, образуя разность между уравнением (III. 7) для
возмущенного движения и соответствующим уравнением для невозмущенного
движения
I/"-^c0, (III. 57)
можем написать
У*-И = 2Р(1-1)ч-
+ 2 (Ш. 58)
Ограничиваясь первым порядком возмущений радиуса-вектора, а также
используя третье уравнение системы (III. 27), получим
V*- V§ = - ^-+- 2 J(/? + rQT)dv-4-c. (III. 59)
в Г. А. Чеботарев - JJ3 -
Наконец, сравнивая последнюю формулу с форму лой (III. 56), будем
окончательно иметь
Формула (III. 60) является тождеством, при подстановке в которое
возмущения радиуса-вектора 8г члены с переменными аргументами должны
сократиться. В результате получим соотношение между произвольными
постоянными интегрирования. Таким образом, вместо семи произвольных
постоянных имеем только шесть, как это должно быть для трех
дифференциальных уравнений второго порядка.
10. Определение постоянных. Постоянные интегрирования с1; с2, с3, с4,
с5, с и К могут быть определены различными способами.
Первый способ. Определяем постоянные интегрирования из условия, что при /
= 0 (эпоха оскуляции) возмущения §r, 8Х и oz, а также их производные
