Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
написать
Поэтому для вычисления возмущений координаты z можно воспользоваться
непосредственно третьим уравне-
1 d'rl k2
2 dt2 г0
(III. 15)
d2zp t2-dt2
d2 (г dt
z = bz - r08p.
(III. 18)
- 105 -
нием системы (III. 3) которое можно переписать в следующем виде, если
ограничиться первым порядком возмущений
(III. 19)
</2 Ъг dt 2 "
кПг
¦дЛ
dz
3. Выражения для возмущающих сил. Для получения возмущений первого
порядка необходимо в правых
частях уравнений (III. 16), (III. 17) и (III. 19) подставить координаты и
элементы невозмущенного движения.
Рассмотрим (рис. 11) на небесной сфере пересечение трех больших кругов:
эклиптики, невозмущенной орбиты Цереры и невозмущенной орбиты Юпитера.
Плоскость невозмущенной орбиты малой планеты примем за плоскость ху,
причем ось х направим в точку А пересечения орбиты малой планеты с
эклиптикой (восходящий узел планеты). Невозмущенные координаты Цереры
могут быть получены по формулам
Рис. 11. Орбиты Цереры и Юпитера в проекции на небесную сферу.
*0 = r0cosX0, Уо = г0 sin Х0, z0 = 0, (III. 20)
причем
(III. 21)
где ") - расстояние перигелия от узла и v - истинная аномалия Цереры в
невозмущенном движении.
Обратимся теперь к сферическому треугольнику AA'N, образованному
восходящими узлами 2 и 2' рассматриваемых орбит относительно эклиптики и
восходящим узлом N, орбиты Юпитера относительно орбиты Цереры.
Для вычисления угла взаимного наклона J между плоскостями орбит и дуг AN
и A'N, которые обозначим через N и N', могут служить следующие формулы:
- 106 -
(III. 22)
sin у J sin у (N-t- N') =
= sin у (2' - 2) sin у (/' -I- /), sin4-/cosy(W-"-^/) =
= cos у (2' - 2) sin У (/' - /), cos y/sin y(/V-N') =
= sin у (2' - 2) cos у (/' -+- /), cos у J cos у (/V- TV') =
= cos у (2' - 2)cosy(/' - /).
Долготы Цереры и Юпитера I и отсчитанные от точки N, равны
l = w-t-v - N, V - ш'-t-v1 - N1.
(III. 23)
Иа сферических треугольников xNI, yNI и zNI нетрудно получить формулы для
вычисления координат Юпитера относительно принятой системы прямоугольных
координат
х' = г' cos (х, I) = г' (c,os N cos V - sin N sin V cos J),
y' - r' cos(y, I) = r'(sin Ncos I' -+- cos Wsin /' cos J), (III. 24)
z' = r' cos (z, /) = r' sin I' sin J
или, заменяя cos/= 1 - 2 sin2 у , получим
x' = r' ?cos (I' -+- N) -+- 2 sin W sin I1 sin2 у
у' = r' ?sin (/' N) - 2 cos N sin I' sin2 у z' = r' sin I' sin J.
(III. 25)
Переходим теперь к вычислению производных пертурбационной функции,
которые можно переписать таким образом:
- 107 -
OR
dR
dz
,/J M_?il
[ ДЗ r,3 J ДЗ j *
["'/J_____
W ^ ДЗ r,3 J A3j •
= k*mz' ^ - ?J.
= k2m = k*m
(III. 26)
В правые части (III. 16), (III. 17) и (III. 19) входят выражения,
зависящие от возмущающих сил и невозмущен-
ных координат малой планеты, которые на основании (III. 20) и (III. 26)
можно преобразовать к следующему виду:
dR dR dR dR dR
г*Я = хъ; + УТу+2Тг=х 057-^057 =
=k%m [(-p-pr) (xox> УоУ1) - - J].
rr dR dR dR dR
г0Т=х^-У^=х^-У0^ =
= k*m - pr) (хоУ'-УоЛ (III. 27)
dR dx dR dy dR dz__dR dx^ dR dy$_
dx dt * dy dt dz dt dx dt * dy dt
D/ rp </Xq
- K~di + r"' df*
7 dR
dz'
Заменяя в последних формулах прямоугольные координаты полярными
координатами на основании формул (III. 20) и (III. 25), можем написать
следующие выражения для /?', Т и Z:
R' = lc2m [г'(А-рг) X
X jcos (/' - I) - 2 sin I sin V sin2 yj-J ,
T=k2mr' (i-^з) X X ?sin(/'- I) - 2cos/sin Z'sin2yJ , z - Pmr1 ^ - -psj
sin /' sin /.
(III. 28)
- 108 -
Величины /?', Т и Z - компоненты возмущающей силы по радиусу-вектору,
перпендикуляру к радиусу-вектору и по направлению оси z.
Так как в дальнейшем мы введем вместо времени новую переменную - истинную
аномалию малой планеты в невозмущенном движении, нам необходимо
установить формулы для перехода от v к г>'.
4. Зависимость между истинными аномалиями малой планеты и Юпитера в
невозмущенном движении. Для вычисления средних аномалий Цереры и Юпитера
для данного момента t служат известные формулы
М - Ма-*~ (А#,
и, J и (III. 29)
М' = Ма -+- [*7, '
где (а и |а' - среднее суточное движение Цереры и Юпитера, а М0 и М'и -
средние аномалии в начальную эпоху. Обозначим отношение средних движений
(а и (а' через
п = (а' : (А. (III. 30)
Исключая t из уравнений (III. 29), можем написать
М' - пМ - пМ0-*-Мо =
- nv-t-M'Q - пМ0 - n(v - М). (III. 31)
Положим для краткости
ф = nv -+¦ Л/' - пМ0 (III. 32)
тогда
ДГ = ф - n(v - М). (III. 33)
При разложении в ряды нам будет удобно пользоваться переменной о/, равной
о/ = ф - V. (III. 34)
В этом случае истинная аномалия Юпитера вычисляется по формулам
М' - v -+¦ то' - л (v - М),
Е - е sin Е = А/',
4*т=Уг
~7. Е' (III. 35)
- 109 -
5. Интегрирование дифференциальных уравнений
для 8г и 8z. Уравнения (III. 16) и (III. 19) имеют одну и ту же общую
форму
(111.36)
г0
В невозмущенном движении мы должны положить Q = 0, тогда получим обычное
уравнение невозмущенного эллиптического движения, которое имеет два
частных решения
Zi = r0cosv, z2 = r0 sinv. (III. 37)
