Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Метод Хилла, по крайней мере при вычислении возмущений первого порядка,
проще других известных методов. Это достигается прежде всего введением в
качестве независимого переменного не времени, а невозмущенной истинной
аномалии малой планеты. Связь между временем
- 101 -
и истинной аномалией дается, как известно, с помощью интеграла площадей
rl^L = k\!p, (Ш. 1)
откуда
dt=-^dv. (III. 2)
к\/р
Другой особенностью метода Хилла является выбор специальной координатной
системы, в которой за основ* ную плоскость принимается плоскость
невозмущенной орбиты малой планеты. При этом формулы Хилла дают
непосредственно возмущения радиуса-вектора, долготы в оскулирующей орбите
и широты малой планеты по отношению к плоскости невозмущенной орбиты.
При разложении производных пертурбационной функции в ряды по кратным
дугам истинных аномалий v и "/ в методе Хилла применяется гармонический
анализ для вычисления коэффициентов рядов Фурье.
В дальнейшем метод Хилла будет изложен для случая возмущений первого
порядка.
2. Основные уравнения. Примечание. При выводе основных формул метода
Хилла была использована статья Б. В. Ну-мерова "Вычисление абсолютных
возмущений первого порядка в полярных координатах" (Бюллетень
Астрономического института, № 35, 1934 г.). Эта статья содержит
результаты работы семинара, организованного в Астрономическом институте в
1933 г. при участии Б. В. Нумерова, В. В. Нумеровой, В. С. Мешковой, Н.
Ф. Боевой, А. П. Тяхт, А. Н. Струйской, Е. К. Харадзе и др.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения малой планеты в
прямоугольных координатах с началом в центре Солнца имеют следующий вид
(масса Солнца принята за единицу, масса малой планеты равна нулю):
d*xk°-x dR
dt 2 гЗ дх '
d2y k*y dR dt2 гЗ dy ' (III. 3)
d4 кЧ dR
dfl r3 dz •
где производные пертурбационной функции по координа' там выражаются
следующими формулами:
- 102 -
dR ." jx' dl = km (-
V - х У
ДЗ г'3,
У- У
ДЗ г'3
V -* *'
ДЗ г'3
dz
Координаты малой планеты (Цереры) обозначены через х, у, z, координаты
возмущающего тела (Юпитера) через л:', у\ z'. Масса Юпитера - т. Радиусы-
векторы г, г' и Д - взаимное расстояние между малой планетой и Юпитером
определяются формулами
r!=JC! + yS+ z2,
/ = / + /+/, (III. 4)
Д2 = г2 -+- г'2 - 2 (хх' -+- ^ -+- zz').
Умножая уравнения (III. 3) соответственно на х, у, z и складывая, получим
d ( dx dy dz\ a
di\Xdt+*di + Zdt)-V
№ dR dR dR /TTT ,4
+ Т = ХТх + УТу + 2д7' (IIL5>
где через v обозначена скорость малой планеты,
Умножая теперь уравнения (III. 3) соответственно на dx dy dz
dt ' dt И dt И СУММИРУЯ* можем написать
1 efo2 № dr dR dx | dR dy | dR dz
'2~dt~*~l^Jt~~^dt d^dt dIdt' IHbO)
Интегрируя последнюю формулу, получим следующее выражение для квадрата
скорости:
я 2к2 ntidRdx dR dy dR dz\ /ТТТ -v
где через с0 + с обозначена постоянная интегрирования.
- 103 -
Подставляя выражение (III. 7) в уравнение (III. 5), получим основное
дифференциальное уравнение для радиуса-вектора в возмущенном движении
1 </*г 2 /Ь2 / dR dR dR\
2 dt* r ~\Xdx S dy~*~Z dz)~*~
о f /dR dx dRdy dR dz \ ov
+ 2\\dIdt+TyI+dIdt)dt + C * + (IIL8)
Умножим теперь первое уравнение системы (III. 3) на -у и второе уравнение
на +х; складывая, получим
d ( dy dx\ dR dR ,TTI n.
-ж{х1Т-Уж) = хТу-УТх' (IIL9)
откуда, интегрируя, находим
где через К0-?-К обозначена постоянная интегрирования.
Введем вместо прямоугольных координат малой планеты полярные координаты с
помощью известных соотношений
х-г cos X cos Р,
у = г sin X cos Р, (III. 11)
z = г sin ,8.
Дифференцируя последние формулы, напишем выражения производных от
координат
gjr = cos X cos Р ^ - г sin X cos Р ^ - г cos X sin Р^-,
^ = sinXcosP^jr-i-/'cosXcosP^-г sin X sin Р^ , (III. 12)
dz . a dr о
5T = sinPrfT-HrcosP5r *
Используя формулы (III. 12), можем переписать уравнение (III. 10) в
следующем виде:
г" coS" Р §=J (х Щ - я ?) л+ К,+К. (Ш. 13)
Мы получили основное дифференциальное уравнение для долготы малой планеты
в возмущенном движении.
- 104 -
Представим возмущенные координаты малой планеты в виде
г - гй-л-Ьг, Х = Х0-ь8Х, z - Zy-t-bz, (111.14)
где r0, Х0, z0 удовлетворяют уравнениям не возмущенно го движения
Для того чтобы получить дифференциальное уравнение для возмущений
радиуса-вектора, образуем разность между (III. 8) и первым уравнением
(III. 15)
При выводе формулы (III. 16) пренебрегаем квадратом малой величины 8г,
что допустимо, если ограничиваемся построением теории движения малой
планеты с точностью до первого порядка относительно возмущающих масс.
Образуя теперь разность между уравнением (III. 13) и вторым уравнением
(III. 15) и учитывая, что в невозмущенном движении широта Р0 = 0, можем
написать следующее дифференциальное уравнение для возмущения в долготе,
также ограничиваясь первым порядком малых величин 8г и 8Х;
Так как в невозмущенном движении за основную плоскость принята плоскость
ху, то с точностью до членов первого порядка включительно мы можем
