Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
сведения из сферической астрономии. Следующие главы, излагающие методы
небесной механики, совершенно независимы друг от друга и могут изучаться
в любой последовательности в зависимости от интересов читателя. В
приложении собран различный материал справочного характера.
Составляя библиографию, автор сознательно ограничился литературой на
русском языке как на наиболее доступной для широкого круга советских
читателей. Обратившись к этим изданиям, нетрудно найти ссылки и на
зарубежные работы.
Введение НЕБЕСНАЯ ИЕХАНИКА И ЕЕ ЗАДАЧИ
Небесная механика - раздел астрономии, изучающий движение тел солнечной
системы в гравитационном поле. Движение Солнца, звезд и звездных систем
изучает звездная астрономия.
Так как расстояния между телами солнечной системы очень велики по
сравнению с размерами самих тел, то все тела солнечной системы можно
рассматривать как материальные точки, притягивающие друг друга по закону
Ньютона. Поправки, вытекающие из теории относительности, очень малы и
учитываются дополнительно. Таким образом, основная задача небесной
механики сводится к так называемой задаче п тел. Так как строгое
математическое решение задачи п тел невозможно, приходится рассматривать
отдельно специальные задачи небесной механики, используя при этом
различные особенности солнечной системы.
Задача двух тел. В первом приближении движение планеты можно
рассматривать как происходящее в поле тяготения одного Солнца. В этом
случае дифференциальные уравнения движения планеты допускают решение в
конечном виде. Постоянные интегрирования определяются из наблюдений
(задача определения орбит).
Движение планеты в задаче двух тел определяется законами Кеплера.
1. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого
находится Солнце.
- J -
2. Прямая линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает равные площади
в равные промежутки времени.
3. Квадраты времен обращений планет вокруг Солнца, умноженные на сумму
масс Солнца и планеты, пропорциональны кубам их средних расстояний от
Солнца.
Задача трех тел. В 1912 г. финский астроном Сундман (1873-1949) нашел
формальное решение этой задачи. Однако ряды Сундмана оказались совершенно
бесполезными для практических вычислений. Так, для того чтобы получить
значения координат на два месяца вперед, даже с небольшой точностью,
необходимо взять число членов ряда п>108 10\ и это для случая, наиболее
благоприятного для сходимости, когда все три массы равны между собой.
При некоторых специальных начальных условиях можно получить очень простое
решение задачи трех тел (случай Лагранжа), представляющее большой интерес
для астрономии. Частным случаем задачи трех тел является так называемая
ограниченная задача трех тел, в которой два тела конечной массы движутся
вокруг центра инерции по эллиптическим орбитам, а третье тело имеет
бесконечно малую массу. Для ограниченной задачи удалось построить
разнообразные классы периодических движений (периодические орбиты
Пуанкаре, Шварцшильда и др.). Для общего случая задачи трех тел подробно
изучены предельные свойства движения при t-*¦-*-со и #-*¦- оо, т. е. так
называемые финальные движения.
Теория движения больших планет. Дифференциальные уравнения движения п тел
интегрируются в небесной механике приближенно, с помощью разложения в
ряды (аналитические методы) или численным интегрированием (численные
методы). Если решение ищется в виде рядов, расположенных по степеням
малых параметров, то такими параметрами обычно являются массы планет, так
как масса даже самой большой планеты солнечной системы - Юпитера - в 1047
раз меньше массы Солнца. Малыми параметрами, по которым ведется
разложение в ряды, являются также эксцентриситеты и наклоны орбит больших
планет, так как все орбиты лежат почти точно в одной плоскости и мало
отличаются от круговых. Члены ряда называются возмущениями или
неравенствами и имеют следующую форму:
-б -
At'\
Atm sin (at B),
A sin (<*/-+- B),
гдб wi -" 1,2, ...
Члены первого типа называются вековыми возмущениями, второго типа -
смешанными и третьего типа - периодическими. Коэффициенты А содержат
множителем массы планет в различных положительных степенях и потому
являются малыми величинами.
Теория движения малых планет. Особенностью малых планет является то
обстоятельство, что их массы можно рассматривать как равные нулю. Поэтому
движение каждой малой планеты можно изучать отдельно, считая при этом,
что движение больших планет нам уже известно.
Теория движения спутников. Эта теория во многих отношениях аналогична
теории движения больших планет, однако особенностью задачи является то
обстоятельство, что масса планеты, т. е. центрального тела, значительно
меньше массы Солнца, притяжение которого существенно сказывается на
движении спутников. Для близких к планете спутников нельзя рассматривать
планету как материальную точку, а приходится учитывать влияние фигуры
планеты на движение спутника.
Теория движения Луны. Движение Луны представляет одну из труднейших задач
