Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
X (X1X2, „ + X2X1, д)]2 + [(X2 - X1) (X2F1, № + X1F2, J -
- (F2 - F1) (X1X2, й + X2Xll ,)]2}] = 0. (156)
Из уравнения (156) следует, что каждое из восьми положительно определенных выражений, стоящих под знаком интеграла, должно быть тождественно равно нулю. Следовательно,
(F2 - F1) (X1X21 e + X2Xll а) = (X2 + X1) х
X (X1F2, e- X2Fll „) = (X2 - X1) (X2Fli e + X1F21 в), (157)
X2 (F2 - F1) F1, а = -X1 (X1X2, а - X2Xli .),
X1 (F2 - F1) F2, а = -X2 (X1X21 а - X2Xli в), (158)
где а = г), (і. Равенство двух выражений в правой части уравнения (157) требует, чтобы
XiF2, а = X2Flttt. (159)
Используя этот результат, находим, что равенство первых двух выражений (157) дает
X1X2 (F2 - F1), e - (F2 - F1) (X1X2 e +X2X1, в) --= О
(а = Ti, |х). (160)
Уравнение (160) можно переписать и в другом виде
[(F2 - Y1VX1X2), e = О (а = ті, її). (161)
Поскольку функции F1 и F2 равны в асимптотике при т] -> оо, из уравнения (161) следует
F8 = F1. (162)
28
Глава 6. Метрика Keppa
Из уравнений (158) (любого из них) следует теперь
(X1IX2)ia = О (а = т|,|і). (163)
И снова из равенства асимптотик X1 и X2 при г\ -> оо получаем
X1 = X2. (164)
Отсюда следует единственность решения для заданных значений M (вследствие выбранной нами нормировки решений) и J.
Поскольку метрика Керра удовлетворяет граничным условиям теоремы Робинсона и представляет собой решение для данных значений MuJ (<Л42), следовательно, это единственное решение для заданных значений M и J. Другими словами, открытие Керра дало доказательство существования решения, удовлетворяющего требованиям теоремы Робинсона!
Представляют интерес два специальных случая тождества Робинсона (156).
Рассмотрим сначала случай «близколежащих решений» (X, Y) и (X + 6Х, Y + б У), т. е. квазистационарные аксиально-симметричные возмущения, оставляющие неизменными массу и момент количества движения. Считая 6Х и б К величинами первого порядка малости (какими и надлежит быть возмущениям!), получим, линеаризуя уравнение (156), следующее тождество:
00 -f-1
J J dr] dll (1 /X*) {(Tl* - I) [(X, Л6Х -Yt1lSy- ХбХ, „)* +
1 —1
+ (X, ,6Y + У, „6Х - ХбУ, „)2 + (X, лбУ - У, лбХ)2] +
+ (1 - И2) KX, п8Х - У, Ц6У - ХбХ. J +
+ (X, №6У + У, цбХ - Х6У, ^ + (X, цбУ - У, цбХ)2]} = О, (165)
которое эквивалентно тождеству, впервые полученному Картером. Из уравнения (165) следует (так же как и при доказательстве теоремы Робинсона), что
6Х = О, 6У = 0. (166)
Другими словами, в решении Керра не существует квазистацио-нарных и аксиально-симметричных возмущений, при которых масса и момент количества движения оставались бы неизменными. Это утверждение можно выразить и иначе: вдоль последовательности решений Керра не может быть точек бифуркаций. Последнее утверждение составляет содержание теоремы Картера, которая была доказана до того, как Робинсон получил общий результат.
56. Описание в формализме Ньюмена—Пенроуза
29
Рассмотрим теперь случай невращающейся черной дыры, когда Y = 0. Тождество Робинсона в этом случае сводится к выражению
00 -f-1
J J [(TIa-I)(X1Xai4-X2Xll4)* +
1 “I
+ (I - И2) (X1X2. ц - X2X1, ^)2] [(X? + Х?)/Х?ХЦ ClT1 d(x = О, (167)
где X1 и X2 — два решения для одной и той же массы. Отсюда следует, что
X1 = X2. (168)
Другими словами, в предположении аксиальной симметрии невращающаяся черная дыра определяется однозначно заданием массы. Этот результат, но без предположения об аксиальной симметрии, является содержанием теоремы Израэля, которая гласит: метрика Шварцшильда является единственным решением, описывающим невращающиеся черные дыры.
56. Описание пространства-времени Керра в формализме Ньюмена — Пенроуза
Описание пространства-времени Керра в формализме Ньюмена— Пенроуза начнем с построения изотропной тетрады. В гл. 7 (§ 636) будет показано, что в пространстве-времени Керра существует простой класс изотропных геодезических, касательные векторы к которым равны
". = [(^ + а*)/А]?, Ъ=±Е> -S' = 0’ =(«/*) ^ (169)
где E — постоянная. Выберем действительные изотропные векторы 1 и п вдоль этих геодезических и добавим к ним комплексный изотропный вектор т, такой, что он ортогонален к векторам 1 и m. В результате получим следующий базис:
Ii = (1/Д) (r2 + а21 +д> 0>
п1 = (1/2р2) (г2 + а\ —А, 0, а), (170)
тс = (ї/P]/2) (ia sin 0, О, I, і cosec 0),
где
р = г + t'a cos 8, р* = г — ia cos 6. (171)
[К сожалению, буква р используется для обозначения различных величин: как спиновый коэффициент в выражении р2 = г2 + + а2 cos2 6, и теперь еще как р и р*. Чаще всего это не будет вызывать недоразумений, но в некоторых случаях нам придется различать спиновый коэффициент и величины, определенные урав*
зо
Глава 6. Метрика Keppa
нением (171). Поэтому спиновый коэффициент в таких случаях мы будем обозначать p. Ho p2 всегда будет обозначать р2 = г2 + + a2 cos2 0. ]
Вектор 1 имеет аффинную параметризацию в отличие от векторов пит, которые параметризованы так, чтобы удовлетворить требуемым условиям нормировки
