Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
I.
(1/2Х?Х|) [X2 (F2 - F1) F1, „ + X1 (X1X2. „ - X2X1, „) ]2 + + (1/2ХІХ?) [X1 (F2 - F1) F2, T1 + X2 (X1X2i11 - X2Xbri)]2 = = (1/2Х?Х2) (F2 - F1)2 (Flill)2 + + (1/2Х?Х!) (X? + X2) (X1X2, „ - X2Xll ^2 + + (1/2Х,х?) (F2 -F1)2 (F2tll)2 + + (1/Х2Х2) (F2 - F1) (F2 + F1). ч (X1X2, „ - XoX1, (149)
II.
(l/4X?Xl) [(X2 + X1) (X1F2jll- X2F1i11) -
- (F2 - F1) (X1X2i „ + X2Xli „) I2 +
+ (1/4Х?Х|) [(X2 - X1) (X1F2, „ + X2F1, п) --(F2-F1) (X1X2l „ +X2X1, л)]2 = = (1/2Х?Х|) (F2 - F1)2 (X1X2i11 + X2Xll11)2 -
- (l/xfxl) (F2 - F1) (F2 - F1), „ (X1X2, „ + X2X1, „) +
+ (1 /2ХіХ|) ((X? + X2) X X [Xi(F2j11)2 +XJ (Fbn)2] -4Х?Х^, ,,F2i11). (150)
55. Единственность метрики Керра
25
Два других тождества получаются заменой производных по г\ производными ПО [X.
Поскольку производные ПО ї] (г]-ЧЛЄНЬі) И Производные ПО (LI (|х-члены) входят в выражения для EhFh, следовательно, в функционал R, совершенно симметрично (если не считать замену множителя (г]2 — 1) множителем ([I2 — 1)) проведем выкладки только для г]-членов. Ясно, что для [і-членов получится аналогичный результат.
В функционале R проинтегрируем по частям те члены, в которых в качестве множителя стоит функция F. Что касается членов с функцией E в функционале, то проинтегрируем по частям только те слагаемые, в которые множителем входят выражения, взятые в квадратные скобки в определении функции R (ср. с уравнением (144)). Проинтегрированные г]-члены имеют следующий вид:
+ (X2s - X21) (X2X1, „ - X1X2, „)]} =
= V2 (т]2 - 1) {- (IZX1X2) [(K2 - F1)]? „ + + (1 /х\х1) (Y2 ~ Vi)2 (X2X1, „ + X1X2, „) + + (IIX2X2) (X22 - X21) (X2X1, „ - X1X2, „)} = -1Z2(TI2-I)I [(F2-K1)2 +
Объединяя их с подобными же членами, появляющимися при интегрировании по частям fi-членов, имеем
Вследствие требований гладкости функций X и Y на горизонте и на оси значения выражений в фигурных скобках, вычисленные на оси (|х = ±1) и на горизонте (ц = 1), равны нулю, а требуемое асимптотическое поведение (146) и (147) решений на бесконечности приводит к тому, что
(VX1X2) (T12 - I) ((F1 - F2), л (F2 - F1) +
+ (1/2Х,Х2) [(F2 - F1)2 (X2X1>t) + X1X2, „) +
+ (X2-X1)2VX2X1U (151)
(Y2-Yi)» +(X1-Xi)* I
J Tl Jri=I
Tl= + OO
-1
-1
OO
- V3 J dti [(1 - (А2)
(^2-^l)2+ (*2 -Xl)2 X1Xt
J , M-J M-= -1
H-+1
(152)
(У*-Yi)2+ (X2-X1)* X1X2
]1Ч = 0 (Tf9). (153)*
* В действительности эти члены имеют порядок О (Tl"5), если принять во внимание член порядка О {ц х) в уравнении (146) (ср. с уравнением (85)).
26
Глава в. Метрика Keppa
Следовательно, поверхностный интеграл (152) равен нулю.
Оставшиеся после интегрирования по частям г]-члены в объемном интеграле с точностью до множителя (г]2 — 1) равны
(1/2Х?Х2) [(F2 - F1)2 + X22- X?] (Yi „)2 + (1/2X^X1) [(F2 - F1)2 +
+ X2i- Xl] (Y2, „)* - (Yu „/X?) [(XiZX2) (F2 - F1)], „ -
- (Xli Г1/Х0 |(1/2Х,Х2) [(F2 - F1)2 + Xl - X21)), „ +
+ (Y2. n/XI) [(Х2/Х,) (F2 - F1)]. „ -
-(X2, V^2) {(1/2X,X2) [(F2 - F1)2 + X1- Xl]), „ =
= (1/2Х?Х2) (F2 - F1)2 (F1. л)2 + (l/2X2X,) (F2 - F1)2 (F2, „)2 +
+ (1/Х,Х2) [(F2 - F1), „]2 + (1/Х]Х2) (F2 - F1) (F2 + F1). „ X
X (X1X2, „ - X2X1, „) - (1/ХІХІ) (F2 - F1) (F2 - F1), „ X
X(X2X1. „ + X1X2, ц) - (і/х?х!) (X1X1, „ - X2X2, ч)х
X (X1X2, „ - X2X1,,,) + (1/2Х?Х|) (Xf - Xf) (X2 [(X1, „)2 +
+ (Fi1 ii)2] — X1 [(X2, ч)2 + (F2, п)2]} +
+ (1/2Х?Х|) (F2 - F1)2 (X1X2i „ + X2X1. „)2. (154)
Замечаем, что некоторые члены в правых частях уравнений (154) и (149) (лемма I Робинсона) являются общими. Исключая их, находим после некоторых перегруппировок
(1/2Х?Х|) [X2(F2 - F1) F1, г, + X1 (X1X2, „ - X2Xli „)]2 +
+ (l/2X?X2) [X1 (F2 - F1) F2i „ + X2 (X1X2, „ - X2X1, ,,)]2 -- (1/2Х?Х|) (X? + X22) [X? (X2, „)2 + X22 (X1, Т;)2 -
- 2X,X2Xi, T1X2, „] + (1/Х,Х2) [(F1, л)2 + (F2, ,)2 - 2F,. ,F2,-
- (1/Xfxl) (F2 - F1) (F2 - F1), „ (X2X1, ч + X1X2i „) -
- (1/Х?Х!) {(X? + X22) Xlj T1X2, „ - X1X2 [(Xli п)2 + (X2, „)2] 1 +
+ (l/2X?Xi) (F2 - F1)2 (X2X1, „ + X1X2, ,)2 +
+ (1/2Х?Х|) (X22 - X?) (х! [(X1, T1)2 + (F1, „)2] -
-X21 [(X2l11)^(F2l11)2]). (155)
Многие члены в 3, 4, 6 и 8-й строках сокращаются, а оставшиеся в точности равны членам в правой части уравнений (150), составляющего содержание леммы II Робинсона. Таким образом, г|-члены в подынтегральном выражении с точностью до опущенного нами множителя (r]2 — 1) равны положительно определенным
55. Единственность метрики Керра
27
выражениям, входящим в тождества лемм Робинсона. Подобный же вклад в подынтегральное выражение дадут и ji-члены. В результате получаем
00 -f-1
J J dridn(l/4X^)[(r,2- 1)(2[X2(F2-F1)^1.г,+
1 -1
+ X1(X1X^11-X2Xbtl)]2 +
+ 2 [X1 (F2 - F1) F2, „ + X2 (X1X2, „ - X2X1,,,)]2 +
+ [(X2 + X1) (X1F2, „ - X2F1,,) - (F2 - F1) (X1X2, „ + X2X1, л)]2 + + [(X2 - X1) (X2F1. „ + X1F2, „) - (F2 - F1) х
X (X1X2jtl + X2X1,,)]2] + (1 - |2 IX2 (F2 - F1) Fllll +
+ X1 (X1X2i „ - X2X1, X + 2 [X1 (F2 - F1) F2, ц + X2 (X1X2, ц -
- X2Xlill)]2 + [(X2 + X1) (X1F2lll - X2Flill) - (F2 - F1) х
