Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
X > 3 + 3 (I + M2Ia2YI2i X > ЪМ/2а. (424)
Поскольку наименьшее значение X равно (/ — 1)(/ + 2), отсюда следует, что все четыре потенциала будут действительными, если
а/М < 3/ [2 (/ — 1)(/ + 2) ], (425)
т. е. только для достаточно малых значений отношения а/М. Из рис. 43 и 44 следует, что в общем случае действительные части потенциалов доминируют и почти равны, а небольшая разность между ними «компенсируется» различающимися малыми мнимыми частями. Во всяком случае, как было показано, интегралы от мнимых чаістей должны быть равны нулю, а интегралы от действительных частей должны быть равными между собой.
Потенциалы в случае отсутствия аксиальной симметрии, когда а > ас = —а/m, имеют практически такой же вид, как и в случае аксиальной симметрии.
В предельном случае а = ас и а2 = 0 (и, следовательно, P2 = 4:3а2 = 0) имеются только два потенциала
V = гг (Kr2 + Шг— 6а2) + 2) + *2 г* (Хг2+^1мг — №) } ’ (426)
где
X2 = ± (36 M2 + 24а2Х)1/2, q = г* (Kr + 6 Mr — 6а2), (427)
и в зависимости от того, действительно или мнимо х2, потенциалы будут действительными или комплексными. При (Ts < < о < ас потенциалы остаются почти одинаковыми. Однако при о -> (Ts + 0 они становятся сингулярными точно на гори-
97. Падающие гравитационные волны
227
зонте и приводят к единичному значению коэффициентов отражения, что предвещает появление суперрадиации (см. § 98).
В случае о < Gs потенциалы имеют характерную сингулярность при г = I a I > г+. Несложно проверить, что вблизи точки г = I а поведение потенциалов таково:
-3 16|ар|“11а|)4 при P2 — + ЗI а |2,
л 2 (428)
+ "РИ Р2 = -З|а|2,
и оно совпадает с поведением потенциалов для электромагнитных возмущений (ср. с уравнением (193) гл. 8). Следует отметить, что помимо сингулярности при г — I a I в некоторых случаях, как следует из рис. 44, в, тот или другой потенциал имеет и другую сингулярность, эти добавочные сингулярности появляются, когда знаменатель q — P2A в выражении (415) для V становится равным нулю.
г. Соотношения между решениями, относящимися к различным потенциалам. Обозначим Vі (/ = 1, ..., 4) различные потенциалы, и пусть Zi — соответствующие им решения. Можно показать (как и выше), сделав подходящее преобразование уравнений (412), как, зная решение Zi, соответствующее потенциалу Vjy построить решение Zii соответствующее потенциалу Vі. Действительно, подставляя в выражение для KiZi вместо функций Y и A_Y их выражения через функции Zi и A+Ziy получаем
K1Zi = (ю/Д2) RiY - (со8/А2) (Ti + 2 кг) Л_Г =
= [(й8/A2) Ri f V1 + (Tl + 2/о) (р( + 2/ор0] Z1 +
+ (й8/A2) [Ri (Т{ + 2to) - R1 (ТІ + 2/о)] A+Z1. (429)
Выражение в правой части можно упростить, если воспользоваться уравнениями (398), (400) и (384) и (387). Действительно, поскольку
(й8/Д2) [Ri (Ti + 2ia) - R1 (Ti + 2кг)] =
_ 2/0 № - Pfl + W- Xi) 77=??!- = <430>
S8 R
A2 Ri
Г R1S1Vi + (Tl + 2ia) (Pf + 2top0 =
-JT [Ki - (р{ + 2/орО (ТІ + 2/о)] + (ТІ + 2io) (pf + 2/ор0 =
= jK'- -Jr iR‘ (Ti + 2/a) - Ri (ТІ + 2/a)] =
Ri vt p( + 2foPLn// /доі \
228
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
то уравнение (429) принимает вид
KiZi = Ji- + pI К> - ^ + 2iaM- Di i\Zi + D'/A.Z/. (432)
F-LfU FM fU 1 + V 7
F + U F + P-i
Воспользовавшись снова уравнениями (392) и (400), находим
- = (F2 - &)~' Ы + 2/стрО F - &F' - 2iapf], (433)
F + Р2
Подставляя это выражение в уравнение (432), получаем окончательное соотношение
IO
D^Zi + D'lf-
F + H
(434)
Очевидно, что это соотношение позволяет получить решение Zi, соответствующее потенциалу Vі, если известно решение Zjy соответствующее потенциалу VL
Поскольку функция F стремится к бесконечности как при г -* оо, так и при г -> г+ + 0, из уравнения (434) следует, что
KiZi -> (Ki + IoDii) Zj + DifZi Гт. (435)
Это соотношение можно использовать для нахождения связи между асимптотиками решений, принадлежащих разным потенциалам. При выводе упомянутых соотношений полезна другая формула для DiL которую мы сейчас получим. Поскольку
Ki -Kf = - 4а2 (р| - PO + 2ia (х? - х0 =
= 2/а [2ia (p2 — PO -f- (х2 — иО] (436) и (PD2 = PK = 9а4), можно записать (ср. с уравнением (430)) Dli = (Г - K')/2io + Ы - хО (р? + pi) /(F - PO- (437)
Из этого уравнения следует, что
Dii-> (/Ct — K')/2io при г —>- оо, г->-г+-|-0. (438)
Мы уже видели, что решения одномерных волновых уравнений имеют асимптотики ехр (rfciar*) как при г-*- оо, так и при г —> г+ + 0. Следовательно, если Z' имеет асимптотики
Zi ->• ехр [— iar*], Z' ехр [+ Iarit,], (439)
то из уравнений (435) и (438) следует, что соответствующие решения для Z1', построенных из решений для Z', имеют асимптотики
H(KiIKi) ехр [— iar ^], Zi ехр [+ гаг#]. (440)
98. Задача об отражении и прохождении волн
229
у (+Qr)
У +2 -
(441)
д. Асимптотическое поведение решений. Вернемся теперь к уравнениям (412), связывающим решения Y<±0) и решения Z(±0). Как и выше, можно получить асимптотики решений для У(±0\ зная асимптотики решений для Z<±a). Имеем
