Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим прежде всего, что в шварцшильдовом пределе (а = 0)
р2 = 0, х2 = ±6М, X = (I — I) (/ + 2) = |х2 = In,
/С<±ст> = ^2 (^2 + 2) ± 12/аМ (419)
97. Падающие гравитационные волны
223
Рис. 43. Потенциальные барьеры вокруг черной дыры Керра для падающих гравитационных волн. Из четырех потенциалов, соответствующих параметрам 1=2, т = 0, а = 0,9 и G2 = 0,13, два действительных (длц них X2 = ±7,848 и P2 = +2,43) и два комплексно-сопряженных (для них X2 = ±13,288i и P2 = = —2,43). а — действительный потенциал с X2 = +7,848 и P2 = +2,43, другой же действительный потенциал, которому соответствуют X2 = —7,848 и P2 — — +2,43 в масштабе графика невозможно отличить от предыдущего, бив — действительная и мнимая части потенциала с X2 = +13,288t и P2 = —2,43.
224
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Рис. 44. Семейство потенциалов для падающих гравитационных волн с параметрами а — 0,95, I = —т = 2 и частоты о в интервале 0 < a ^ (Js. а — о = = Gc = 2,11, X2 = 12,31 г, а2 = 0, P2 = O и X =—8,66; потенциал (кривые, помеченные индексами 1 и Ґ) комплексный и имеет как действительную, так и мнимую часть, б — для значений о между частотой синхронного вращения и Gs; а = 1,41, а2 = —0,4406 и X = —4,608; два потенциала (кривые 2 и 4) действительны и для них P2 = 1,322 и соответственно X2 = ±6,096, а два других ком-плексно-сопряжены и для них X2 = ±5,137/ и P2 = —1,322; кривая 3 изображает один из них. в — G =z Gs; о = 0,72, а2 = —1,722 и X = —0,478; два по-
97. Падающие гравитационные волны
225
в согласии с равенством (327) гл. 4. Четыре потенциала, таким образом, в этом пределе вырождаются в два, и эта пара суть потенциал Редже — Уилера и потенциал Церилли соответственно для аксиальных и полярных возмущений шварцшильдовой черной дыры. Поэтому возникает вопрос, не может ли существование в общем случае четырех потенциалов для черной дыры Керра указывать на некоторую внутреннюю симметрию (помимо четности).
Отметим далее, что все потенциалы имеют общее свойство, убывают обратно пропорционально квадрату радиуса при г -> оо и экспоненциально стремятся к нулю при г* ->—оо (в случае о > crs) и г* -> + оо (в случае а < а5) по мере приближения к горизонту г+ + 0. Заключаем отсюда, что во всех случаях решения одномерных волновых уравнений имеют следующие асимптотики:
Z -> ехр [±7аг#] при г -+ оо и г —> г+ + 0. (420)
Когда G > Gs и зависимость г* от г однозначна, все четыре потенциала непрерывны, ограниченны и короткодействующи. Более того, из уравнения (409) следует, что интегралы от всех четырех потенциалов по всей области изменения г* (—оо, +оо) равны между собой.
-f-OO -J-OO
J Vdr4=J Qdr* + (Ti)a=O при a>as, (421)
OO —OO
где
(Ті)д=о = -2(г+ - М)/(4) = -(M2 - a2)i/2/Mr+ (I - ajo). (422)
В частности, интегралы действительны даже тогда, когда потенциалы комплексны. Равенство интегралов от потенциалов напоминает подобное равенство, которое было получено для потенциалов около черных дыр Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема. Действительно, при P2 = О выражение для V принадлежит к специальному классу (уравнение (133) гл. 4), что гарантирует равенство коэффициентов отражения и прохождения для всех значений /, х и р, а не только для их частных значений, характе-
тенциала (для кривой 5 X2 — —3,4941 и P2 = 5,166, а для кривой 6 X2 = —5,217 и р2 = —5,166) регулярны всюду, кроме горизонта, где они становятся бесконечными; два других потенциала (им соответствуют значения X2 = 5,217 и р2 = = —5,166 и X2 = 3,491 и P2 = 5,166) имеют сингулярности в точке, где q —
— Р2Д = 0. г — значение а лежит в интервале суперрадиации; о == 0,36, а2 = = —4,3465 и X = 1,736; кривая 9 соответствует значениям параметров X2 = == 11,226 и P2 = —13,039, а кривая 10 — параметрам X2 = 21,551 и P2 = 13,039; оба этих потенциала имеют сингулярность при г = | а | == 2,085. (Для кривой 9 ось ординат находится справа.) Два других потенциала имеют сингулярности, связанные с нулями функции q — р2Д.
8 Чандрасекар С., т. 2
226
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
ризующих^ рассматриваемую задачу. Ниже^в § 98 мы увидим, что все четыре потенциала, задаваемых уравнением (415), также приводят к одинаковым коэффициентам отражения и прохождения. Уместен поэтому вопрос, не выделяет ли уравнение (411) подобный же (но больший) класс потенциалов, гарантирующий равенство между собой коэффициентов отражения и прохождения?
Случай аксиальной симметрии, когда т = 0 и а2 = а2, очевидно, является простейшим. В этом случае все четыре потенциала (ограниченные и короткодействующие) могут быть действительными (как мы сейчас увидим, для достаточно малых значений а/М) или пара потенциалов могут быть действительными, а другая пара — комплексно-сопряженными, или же могут быть две пары комплексно-сопряженных потенциалов. Условием существования комплексно-сопряженной пары потенциалов является выполнение неравенства (ср. с уравнением (406))
2а2Х (5Х — 6) — 2р2Л (X + 2) > 36M2. (423)
Для двух разрешенных значений P2, именно —За2 и +За2, условие (423) дает
