Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Оставляя в стороне детали, отметим в заключение замечательный факт, что систему 60 уравнений, описывающих существенные свойства пространства-времени Керра, удается решить во всей полноте.
96. Вид решения в шварцшильдовом пределе а -> 0
Представляет интерес шварцшильдов предел а -* 0 полученных выше решений: помимо всего прочего, это позволит представить основные тождества в наиболее простом и в некоторых случаях наиболее легко проверяемом виде. Заметим, что, как видно из некоторых уравнений, появляющихся в теории (например, уравнений (179) и (185)), переход к пределу а -> 0 требует некоторых предосторожностей.
Отметим прежде всего, что в пределе а -> 0
Q = т cosec 0, K = г2а, р = р* = г, р2 = г2,
А = г2 — 2Mr, W1 = T1 - X (X + 2). (364)
Из уравнения (170) следует, что
^1-T1=а +0(а2). (365)
Далее, коэффициенты, перечисленные в уравнениях (76) и (78), в рассматриваемом пределе равны
A1 = X (X + 2) А — 4ХоV — 24М<т2г3,
A2 = —12,VfcrA — 4Хог2 (2г — ЗМ) + 24а3г\ (366)
B1 = 4err2 [ХА +2M (г — ЗМ) — 2а2гЧ;
Gt1 = X (X + 2) — 4Xm2 cosec2 0,
а2 = 4Xm cos 0 cosec2 0, (367)
P1 = 4т [2 (т2 — I) — X sin2 0 ] cosec3 0.
Наибольший интерес, разумеется, представляют предельные выражения для функций 91, Z1 и Zi. С помощью уравнений
96. Вид решения в шварцшильдовском пределе
217
(366) и (367) находим, что уравнения (180) и (181) и аналогично уравнения (185) и (186) дают (в согласии друг с другом) следующие предельные выражения для функций 31 и 9:
V2 [AA + 2 Af (г — 3Af) — 2gV4 ] 0L =
- [г — [21(1 + 2)] (г — 3M)}orX + [М — 2o2r*/(l + 2)] Y9
(368)
V2 [Xsin2 0 — 2 (m2— I)] ^ -
= [т%!(fK + 2) I [SI+ cos 0 sin 0 + ^ [2т2/(А, + 2) ] —
— I) [S ]“ sin 0. (369)
Эти выражения для Ж и равны следующим неопределенным интегралам:
я = д« (370)
9 = j {[Srcose + jqfjISrJde. (371)
Как уже говорилось в § 95, доказательство новых интегральных соотношений для функций из классического анализа является одним из удивительных следствий применения метода Ньюмена — Пенроуза к исследованию возмущений пространства-времени.
Что касается решений для функций Z1 и Z2, то тщательное изучение предельного перехода а -> 0 в уравнениях (285) и (286) приводит к следующему результату (мы снова опускаем общий множитель 1/24 ]/2 Al):
Z1 = - 1J2X (k + 2) Я TiinV2esIn20^9- 1) {т [Sr - [Sr cos 0}, (372)
= * TsTn^(V--I)' {т + 1} [S]+ C0S 9 +
+ H2 - V# + 2) (I + COS2 0)] [Sr1}. (373)
При выводе этих формул были использованы следующие соотношения, справедливые в пределе а ->- 0:
т [SESSy cosec 0 = — о (к9> — 2 [SS]~ cos 0) а + О (а2), (374)
т [[SSS]+ cos 0 + 2 [SS]+ sin 0) cosec 0 = - 1I2X (к + 2) 9>, (375)
го [г [2>ФР]+ - 2 [SDP]+} = V2X (к + 2) Я, (376)
V2X (к + 2) 9 + т [SS]+ = - V4 (*- + 2) {— к9> + 2 [SS]- cos 0} =
= X sin2 0 — *2 (т2 — I) Im ^ IsI+ cos 0 +
+ [m2 - 1M (А- + 2) (I + cos2 0) [5П. (377)
218
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Если функции Z1 и Z2 заданы уравнениями (372) и (373), то можно прямым вычислением проверить, что выполняется требуемое равенство
Z1 + Z2 - 1I2X (X + 2) (378)
Решения для остальных функций, определяющих метрику, могут быть получены, если в выражениях, приведенных в .§ 93, перейти надлежащим образом к пределу а -> 0.
97. Теория преобразований и потенциальные барьеры для падающих гравитационных волн
Обратимся теперь к задаче об отражении и поглощении падающих гравитационных волн черной дырой Керра. Как и в случае электромагнитных волн, рассмотренном в гл. 8, сведем прежде всего эту задачу к задаче отражения и прохождения волн через одномерный потенциальный барьер, следуя процедуре, описанной в § 72 и 73.
Напомним (ср. с уравнениями (100) и (105) гл. 8), что в результате замены переменных
d
dr
Y -Iw2I-372 P
+2>
г2 + а2 = г2 + а2 + ат/о
(379)
уравнение Тьюкольского (24) для функции Р+2 принимает вид (ср. с уравнениями (108)—(110) гл. 8)
где
A2Y + PKJY -QY = 0,
d In “8
dr*
Q =
Д2 >
2г (г — М)
г* Д
А. — 3
[A.S’ [- Зй2 (г2 — а2) — Зг2Д].
(380)
(381)
(382)
Будем искать преобразование уравнения (380) к одномерному волновому уравнению вида
A2Z - VZ.
(383)
Теория преобразований, развитая в § 73, применима также и к исследуемой задаче: нужно только в соответствующих уравнениях положить s = 2. Действительно, делая подстановки, рассмотренные в гл. 8, (уравнения (120) и (122)) и положив S = 2,
97. Падающие гравитационные волны
219
приходим к следующим уравнениям (ср. с уравнениями (130)— (133) гл. 8):
= г-г + гіо/, (384)
(-S-«)=-§-(QT-2(aR) + p, (385)
а. Явный вид решений. Будем искать решения уравнений (385) — (387), имеющих вид
Г - T1 (г*) + 2/а, P-Pi (г*) + 2/ар2, (388)
/С = Xi + 2/ах2, (389)
где P2, X1 И X2 — постоянные, требующие определения, а функ
ции R и V не зависят явно от частоты ст в том смысле, что они
не содержат членов, линейных по io (в отличие от функций T и Р). Предположим далее, что если решения такого вида подставить в уравнения (385)—(387), то можно приравнять по отдельности члены, содержащие частоту а, и члены, не содержащие частоту. Делая такие предположения, мы накладываем больше ограничений, чем допустимо. Тем не менее мы увидим, что решения такого вида действительно существуют, если функция Q (вернее, F = S8QM2) удовлетворяет определенному нелинейному дифференциальному уравнению (уравнение (404) ниже). (Для сравнения см. уравнение (311) гл. 4 и уравнение (267) гл. 5.)
