Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
214
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
постоянной Старобинского — серьезный пробел в информации, которая нам необходима.
Четыре оставшихся тождества Бианки позволяют выразить спиновые коэффициенты р, т, [X и я прямо через элементы матрицы А.
Основные уравнения для определения элементов матрицы А получаются в результате линеаризации 12 коммутационных соотношений. Это линейные неоднородные уравнения, причем неоднородные члены являются линейными комбинациями возмущенных спиновых коэффициентов. Последний факт позволяет сгруппировать 24 получающихся уравнения в три системы (системы I, II и III) по восемь уравнений в каждой. Действительно, если решения для возмущений спиновых коэффициентов р, т,
|ы и л выразить через элементы матрицы А, а решения для спиновых коэффициентов х, оД и V выразить через функции Тьюкольского, то две из трех систем уравнений — однородная система I и неоднородная система II — становятся уравнениями для 12 линейных комбинаций элементов матрицы А, которые были обозначены следующим образом:
F + G1 J-H1 F -G1 J + H1
Bi1 B21 G11 C2, (359)
F12 ± Fl Fl±Fl
Остальные восемь уравнений системы III служат для определения возмущений СПИНОВЫХ коэффициентов а, Р, Y и є после того как найдено решение для матрицы А.
Только шесть из восьми уравнений системы I независимы. Ho они позволяют выразить шесть линейных комбинаций (359), именно комбинации
F-G1 J + H1 B11 B21 C11 C21 (360)
через функции F + G и J — Я.
Восемь уравнений системы II (записанных в альтернативной форме (133)) разбиваются на две системы по четыре уравнения в каждой (уравнения (134)—(137) и (187)—(190)). Первая система приводит к важнейшему в теории условию интегрируемости, решением которого является функция
xP = К (J — Я) cos 0 — irQ (F + G) sin 0. (361)
Решение условия интегрируемости является, наиболее трудоемкой частью всего исследования и приводит к значительному упрощению формул. Это решение является также архимедовой точкой опоры для теории: удается ликвидировать две основные неопределенности — найти относительную нормировку решений для вейлевских скаляров 1F0 и ?4 и вычислить аргумент постоянной Старобинского. Наконец, наиболее важно то, что решение
95. Ретроспектива
215
условия интегрируемости открывает путь к установлению новых неожиданных соотношений: разделению переменных для функции W и представлению ее в виде произведения радиальной функции 52 и угловой функции 9\ выводу двух систем уравнений, связывающих функции 52 и 9* с функциями Тьюкольского, и, что удивительнее всего, получению с помощью функций 52 и 9? явных выражений для некоторых неопределенных интегралов от функций Тьюкольского.
Условия интегрируемости для других четырех уравнений из системы II являются дифференциальными уравнениями для функций 52 и 9, связывающими их с функциями Тьюкольского. Используя эти уравнения, можно получить такие дифференциальные уравнения для 52 и 9*, в которых нет и намека на функции Тьюкольского и с помощью которых можно в принципе исключить функции Тьюкольского из теории. Оставшиеся уравнения из этой системы вместе с подобной же парой уравнений первой системы из четырех уравнений позволяют выразить последние четыре функции
Fl ± F2U F34 +Ft (362)
через функции F + G и / — Н.
После завершения редукции системы II остается только один пробел: для полного задания всех функций, перечисленных в (359), необходимо определить F + С и J — Я по отдельности. Удобнее ввести новые функции
Z1 = к (j — Н) cos 0, Z2 = -irQ (F + G) sin 0. (363)
Проблема теперь состоит в том, что известна сумма функций Z1 + Z2 (=Y), но не известна другая линейная комбинация Z1 и Z2.
На этой стадии мы уже полностью использовали тождества Бианки и коммутационные соотношения, поэтому необходимо рассмотреть тождества Риччи.
Четыре тождества Риччи, выбранные нами для исследования, разбиваются на две пары уравнений. Первая пара позволяет выразить производные функций Z1 и Z2 по г и по 0 через линейные комбинации самих этих функций и вдобавок дает еще одно условие интегрируемости. Вторая пара совместно с соотношениями, найденными при исследовании первой пары уравнений, позволяет завершить решение получением явных выражений для функций Z1 и Z2 по отдельности. В то же время условие интегрируемости приводит к восьми очень сложным интегральным тождествам.
Итак, для нахождения решений для 40 различных величин и получения 10 интегральных тождеств пришлось использовать 26жомплексных уравнений (8 тождеств Бианки, 12 коммутационных соотношений ц 6 тождеств Риччи). Два из вышеупомянутых
216
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
интегральных тождеств, в которые входят функции Зі и чрезвычайно существенны для анализа: без них решение нельзя было бы довести до конца.
Наше исследование наталкивает на важный вопрос (особенно в § 94): может ли избыточность уравнений Ньюмена — Пенроуза — 60 уравнений для 50 величин, допускающих еще 10 калибровочных степеней свободы, — привести к открытию новых классов интегральных тождеств между функциями математической физики, которые являются решениями уравнений Эйнштейна?
