Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
EeG1 = — 3Xao {([5]' cos 0) + V3? ([S]+) +
+ V3Ct2O (9)', - 12а3о2 ([S]+ cos2 0), (341)
Ee (G1 cos2 0 — 4QG2 cos 0) = 3Xaa |([S]~ cos3 0) -j-
4' <t ([S]+ cos2 0) — Vea2O (9 cos2 0)} +
+ 12a2o2 ([S]+ cos2 0) + 2X (a2o/a) ([S]‘ cos0), (342) E9G3 — — iVa (Vi -j- T1) {([SJ cos 0) -j- 1I3Ijf ([S]+) -j-
-|- 1Aa2O (9*)] — 6aa (X + 2) ([S]+ cos2 0) —
- 12cr2 Ja2 ([S]- cos 0) + a2 ([S]“ cos30)}, (343)
E9 (G3 cos2 0 — 4QG4 cos 0) = 1IiEe (V1 -j- T1) 9 cos2 0 =
= V4 (V1 + T1) {<[S]~ cos3 0) f 9 ([S]+ cos2 0) - a2o (9 cos2 0», (344)
ErF1 = V4 (V1 Л- Г,) |<F> + 3/г(гХ) - a-a (Я)) - 12o2 (r2F), (345)
Er № - ArKF2) = - 3Ii (V1-L T1) {(г2Г) +
+ ft (r3X) -К 1Ua2O (г2Я)\ - 12a2o2 (r2Y) + 2Xa2O (rX), (346)
IErF3 = 1Ua (W1 + I\) 9 {(У) + Ър, (rX) - a2o (Я)\ —
- 12o2 !(/-3X) - a2 (rX)} - бо (X + 2) (r2Y), (347)
IEr (r2F3 - ArKFi) = - 1IiErO (W1 + T1) цг2Я =
= - 1Za (W1 + T1) 9 {(г2Г> -f p (z-3X> + a2o (г2Я)\, (348)
где
Er = (r2 AK)~u\ Ee - (Q cos? 0 sin 0)-'/2, E = ErEe92. (349)
Заметим, что в соотношениях (344) и (348) использованы два из соотношений (322).
Другие тождества получаются в результате интегрирования уравнений
-J- Е9 = E [^- + (Л, - B1) 9] = E [{[S]- cos 0 + 9 [S]+} +
+ (a/p2aQ cos 0) (r2a2 — a2a2 cos2 0 — 2aV2 cos2 0) 9], (350)
212
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
д__
дг
EM = E\A^±^j-2^(A2-B2)M =
= E [(1 /Д) (Y -f firX)] + (a/pV/C) (r2a2 — а2а2 cos2 0 — 2a2r2 cos2 0) 9t\,
Eq9> = ([Sr cos 0) + 9 ([S]+) + a [a2 (ff>) - 2a2 (9 cos2 0)], (352)
Eq9> cos2 0 = <[S]- cos3 0) + 9 ([S]+ cos2 0) - a2a (9 cos2 0), (353)
Ho два из этих тождеств (353) и (355) совпадают с полученными ранее тождествами (344) и (348).
Отметим, наконец, что с помощью восьми вышеприведенных тождеств решение для функции (Z1 — Z2) (уравнение (388)) может быть переписано следующими двумя альтернативными способами (мы здесь восстанавливаем множитель (1/24 >/"2М), который был опущен в уравнениях (319) и (320)):
+ (/-2Z71 - 4гKF2) ([S]” cos 0) + iaF3 ([S]+ cos2 0) --V4^i + TJ9 ([S]+) rW-
- \\а2о (W1 + T1) SI [г2 (9) + а2 (9 cos2 0)] j. (356)
Для шести интегралов, которые появляются в каждом из двух альтернативных выражений для решения (Z1 — Z2), у нас есть только пять уравнений, связывающих их с известными функциями. Ситуация, следовательно, отлична от ситуации, получившейся при исследовании решения для функции 1F: тогда решение определялось однозначно. К счастью, явные решения для функций Z1 и Z2 были найдены независимыми способами. Тем не менее появление различных интегральных тождеств — это проявление соотношений, природа которых скрыта во мраке.
(351)
Находим, что
ErM = (Y) + р (rX) - a [a2 (M) + 2 (гЩ), (354)
^ErM = (T2Y) + ft (ZiX) + a2a (r*M). (355)
-)- a (G1 cos2 0 — 4Q(?2 cos 0) (rX) + G3 (f-Y) -f + 1Aa2 (V1 + T1) (Y) 9> cos2 0 -
- 1Acc2O («?! + T1) 9 [(r2M) + a2 (M) cos2 0]) =
95. Ретроспектива
213
95. Ретроспектива
Исследование, которое мы только что закончили, было настолько сложным и запутанным, что нелишне будет распутать основные нити.
Анализировалась задача о гравитационных возмущениях черной дыры Керра, описываемых уравнениями формализма Ньюмена — Пенроуза. Основной проблемой является определение изменений компонент метрики, вызванных возмущением. В формализме Ньюмена — Пенроуза возмущения метрики прямо связаны с изменениями 1*(1) базисных векторов Iі (= I, n, т, т). Изменения базисных векторов описываются матрицей А преобразования
l‘(1) = AijIi. (357)
Кроме элементов матрицы А, нужно найти возмущения пяти вейлевских скаляров и 12 спиновых коэффициентов — всего 50 действительных величин. Для нахождения этих величин у нас есть 8 тождеств Бианки, 12 коммутационных соотношений и 18 тождеств Риччи — всего 76 действительных уравнений. Искомые решения должны быть совместны с десятью калибровочными степенями свободы — шесть из них соответствуют возможности бесконечно малых преобразований Лоренца для тетрадного базиса, а четыре степени свободы соответствуют возможности бесконечно малых координатных преобразований.
Исследование показывает, что наиболее естественной для рассматриваемой задачи калибровкой является калибровка, в которой
W1 = Y3 = Ч#> = 0, А\ =A22= Al= At = 0. (358)
Этот выбор исчерпывает весь допустимый калибровочный произвол и полностью фиксирует калибровку. Следующее ниже описание основных этапов исследования опирается на этот выбор калибровочных условий.
Четыре из тождеств Бианки и два из тождеств Риччи допускают явные решения для вейлевских скаляров xF0 и?4и спиновых коэффициентов и, а, X и v; т. е. решения для тех величин, которые равны нулю в фоновой геометрии Керра в силу принадлежности последней к типу D по классификации Петрова. Разделение переменных в уравнениях для вейлевских скаляров xF0 и xF4 и выражение решений для них через радиальные и угловые функции Тьюкольского R±2 и S±2 соответственно сделало возможным изучение решений для остальных величин. Для последующего анализа почти столь же важными оказались замечательные тождества Тьюкольского и Старобинского. Ho этот анализ не позволяет определить относительную нормировку решений для функций R+2 и R_2, и аргумент комплексной