Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 72

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 126 >> Следующая


EeG1 = — 3Xao {([5]' cos 0) + V3? ([S]+) +

+ V3Ct2O (9)', - 12а3о2 ([S]+ cos2 0), (341)

Ee (G1 cos2 0 — 4QG2 cos 0) = 3Xaa |([S]~ cos3 0) -j-

4' <t ([S]+ cos2 0) — Vea2O (9 cos2 0)} +

+ 12a2o2 ([S]+ cos2 0) + 2X (a2o/a) ([S]‘ cos0), (342) E9G3 — — iVa (Vi -j- T1) {([SJ cos 0) -j- 1I3Ijf ([S]+) -j-

-|- 1Aa2O (9*)] — 6aa (X + 2) ([S]+ cos2 0) —

- 12cr2 Ja2 ([S]- cos 0) + a2 ([S]“ cos30)}, (343)

E9 (G3 cos2 0 — 4QG4 cos 0) = 1IiEe (V1 -j- T1) 9 cos2 0 =

= V4 (V1 + T1) {<[S]~ cos3 0) f 9 ([S]+ cos2 0) - a2o (9 cos2 0», (344)

ErF1 = V4 (V1 Л- Г,) |<F> + 3/г(гХ) - a-a (Я)) - 12o2 (r2F), (345)

Er № - ArKF2) = - 3Ii (V1-L T1) {(г2Г) +

+ ft (r3X) -К 1Ua2O (г2Я)\ - 12a2o2 (r2Y) + 2Xa2O (rX), (346)

IErF3 = 1Ua (W1 + I\) 9 {(У) + Ър, (rX) - a2o (Я)\ —

- 12o2 !(/-3X) - a2 (rX)} - бо (X + 2) (r2Y), (347)

IEr (r2F3 - ArKFi) = - 1IiErO (W1 + T1) цг2Я =

= - 1Za (W1 + T1) 9 {(г2Г> -f p (z-3X> + a2o (г2Я)\, (348)

где

Er = (r2 AK)~u\ Ee - (Q cos? 0 sin 0)-'/2, E = ErEe92. (349)

Заметим, что в соотношениях (344) и (348) использованы два из соотношений (322).

Другие тождества получаются в результате интегрирования уравнений

-J- Е9 = E [^- + (Л, - B1) 9] = E [{[S]- cos 0 + 9 [S]+} +

+ (a/p2aQ cos 0) (r2a2 — a2a2 cos2 0 — 2aV2 cos2 0) 9], (350)
212

Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры

д__

дг

EM = E\A^±^j-2^(A2-B2)M =

= E [(1 /Д) (Y -f firX)] + (a/pV/C) (r2a2 — а2а2 cos2 0 — 2a2r2 cos2 0) 9t\,

Eq9> = ([Sr cos 0) + 9 ([S]+) + a [a2 (ff>) - 2a2 (9 cos2 0)], (352)

Eq9> cos2 0 = <[S]- cos3 0) + 9 ([S]+ cos2 0) - a2a (9 cos2 0), (353)

Ho два из этих тождеств (353) и (355) совпадают с полученными ранее тождествами (344) и (348).

Отметим, наконец, что с помощью восьми вышеприведенных тождеств решение для функции (Z1 — Z2) (уравнение (388)) может быть переписано следующими двумя альтернативными способами (мы здесь восстанавливаем множитель (1/24 >/"2М), который был опущен в уравнениях (319) и (320)):

+ (/-2Z71 - 4гKF2) ([S]” cos 0) + iaF3 ([S]+ cos2 0) --V4^i + TJ9 ([S]+) rW-

- \\а2о (W1 + T1) SI [г2 (9) + а2 (9 cos2 0)] j. (356)

Для шести интегралов, которые появляются в каждом из двух альтернативных выражений для решения (Z1 — Z2), у нас есть только пять уравнений, связывающих их с известными функциями. Ситуация, следовательно, отлична от ситуации, получившейся при исследовании решения для функции 1F: тогда решение определялось однозначно. К счастью, явные решения для функций Z1 и Z2 были найдены независимыми способами. Тем не менее появление различных интегральных тождеств — это проявление соотношений, природа которых скрыта во мраке.

(351)

Находим, что

ErM = (Y) + р (rX) - a [a2 (M) + 2 (гЩ), (354)

^ErM = (T2Y) + ft (ZiX) + a2a (r*M). (355)

-)- a (G1 cos2 0 — 4Q(?2 cos 0) (rX) + G3 (f-Y) -f + 1Aa2 (V1 + T1) (Y) 9> cos2 0 -

- 1Acc2O («?! + T1) 9 [(r2M) + a2 (M) cos2 0]) =
95. Ретроспектива

213

95. Ретроспектива

Исследование, которое мы только что закончили, было настолько сложным и запутанным, что нелишне будет распутать основные нити.

Анализировалась задача о гравитационных возмущениях черной дыры Керра, описываемых уравнениями формализма Ньюмена — Пенроуза. Основной проблемой является определение изменений компонент метрики, вызванных возмущением. В формализме Ньюмена — Пенроуза возмущения метрики прямо связаны с изменениями 1*(1) базисных векторов Iі (= I, n, т, т). Изменения базисных векторов описываются матрицей А преобразования

l‘(1) = AijIi. (357)

Кроме элементов матрицы А, нужно найти возмущения пяти вейлевских скаляров и 12 спиновых коэффициентов — всего 50 действительных величин. Для нахождения этих величин у нас есть 8 тождеств Бианки, 12 коммутационных соотношений и 18 тождеств Риччи — всего 76 действительных уравнений. Искомые решения должны быть совместны с десятью калибровочными степенями свободы — шесть из них соответствуют возможности бесконечно малых преобразований Лоренца для тетрадного базиса, а четыре степени свободы соответствуют возможности бесконечно малых координатных преобразований.

Исследование показывает, что наиболее естественной для рассматриваемой задачи калибровкой является калибровка, в которой

W1 = Y3 = Ч#> = 0, А\ =A22= Al= At = 0. (358)

Этот выбор исчерпывает весь допустимый калибровочный произвол и полностью фиксирует калибровку. Следующее ниже описание основных этапов исследования опирается на этот выбор калибровочных условий.

Четыре из тождеств Бианки и два из тождеств Риччи допускают явные решения для вейлевских скаляров xF0 и?4и спиновых коэффициентов и, а, X и v; т. е. решения для тех величин, которые равны нулю в фоновой геометрии Керра в силу принадлежности последней к типу D по классификации Петрова. Разделение переменных в уравнениях для вейлевских скаляров xF0 и xF4 и выражение решений для них через радиальные и угловые функции Тьюкольского R±2 и S±2 соответственно сделало возможным изучение решений для остальных величин. Для последующего анализа почти столь же важными оказались замечательные тождества Тьюкольского и Старобинского. Ho этот анализ не позволяет определить относительную нормировку решений для функций R+2 и R_2, и аргумент комплексной
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed