Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
+ TX Ц> № + Гі> (- 3r2 + a2 cos2 0) {[«Г cos 0 +
+ • * [S]+ j — (2о/a) r2 {6ao (a2 -j- a2 cos2 0) [S]“cos 0 —
- [(Xa2 - 6a2) - 3a2 (X + 2) cos2 0] [S]+}]. (328)
Сравнение этих выражений показывает, что они совпадают.
После некоторой перегруппировки членов в уравнениях (327) и (328) мы можем теперь записать вместо (323) и (324) одно-един-ственное уравнение
± = ^ E (Z1- Z2) = Xa [- 3 (г2—a2 cos2 0) + 2а2] rX 1^cos6 +
+ IV4 (V1 + T1) (— 3r2 + a2 COS2 0) - 12oV2 (a2 + a2 cos2 0)} х
ч, Y [S]-cos 6 , ( 4Ха (Xa2 — 6а2)
Х --- + I----У,+ Г, (-Г + 3fl2cos20) -
- 12а2а2 (г2 - a2) cos2 0} r-^?- -f [a (Xa2 - 6а2) (— г2 + a2 cos2 0) —
— 6а2о (X 2) г2 cos2 0| ~
- [(A1 + B1) А|/2+ + (Л2 + B2)+ (A1 + B1) (A2 - B2) ?}.
(329)
Полагая
f = 4Xa/(^ + T1),
9 = 4a (Xa2 — 6a2)/a (V1 + T1), (330)
можно переписать уравнение (329) в более удобной форме
E (Z1- Z2) = - 3/4 (V1 + T1) г2 (Y + ргХ) {[Sr cos 0 +
+ V,y [S]+I -I- 1Aa2 (V1 + T1) (У + З/ггХ) {[Sr cos 0 + 9 [S]+) cos2 0 -
- 12o2/'2F (a2 f а2 cos2 0) [S]" cos 0 — 12яст2 (г2 — a2) rX [S]+ cos2 0 -|-
+ 2a2XorX [S]- cos 0 - 6aa (X + 2) r2Y [S]+ cos2 0 -
- 7,№ + +
+ ^-<%{[S]-cos0 + 9 [S]+J
Br4 WB9> + зетг T O' + ^)}1 • (331 >
94. Интегральные тождества
209
Альтернативные формы для членов в последних двух строках этого уравнения следуют из соотношений (248).
Решение для функции (Z1 — Z2) может быть теперь сразу же выписано, если проинтегрировать по г и 0 выражение в правой части уравнения (331), умноженного предварительно на
Elp2 Д = (г2 Д3/С)~1/2 (Q cos2 0 sin 0)-1/2. (332)
Поскольку EIp2A является произведением функции от г и функции от 0, ясно, что решение для (Z1 — Z2) получаемое интегрированием по г и 0, является суммой произведений интеграла по г и интеграла по 0. При этом появляются радиальные интегралы шести типов: интегралы от функций rX, r3Xy Y и r2Y с весовой функцией
(г2К Д3)~1/2 (333)
и интегралы от функций 91 и г291 с весовой функцией
(г*К3 Д)-1/2. (334)
Аналогичным образом мы встретимся с шестью типами угловых интегралов:
от функций IS ]+, [SI+ cos2 0, [S ]- cos 0 и IS ]- cos3 0 с весовой функцией
(Q COS2 0 sin 0)-1/2 (335)
и от функций *ЗР И 9* COS2 0 с весовой функцией
(a2Q3 COS4 0 sin 0)-1/2. (336)
Будем обозначать различные интегралы (с указанными весовыми функциями) символами подынтегральных функций, заключенными в угловые скобки. Так, например,
г
(IaX) = J rzx (г2К А3)-!/2 Ar,
0
(9 cos2 0) = J^ cos20 (a2Q3 cos4 0 sin 0)->/2 <10. (337)
В этих обозначениях решение для функции (Z1 — Z2) имеет вид E (Z1 - Z2) = - % (V1 + T1) \(rW) + р (r»X)} {([S]- cos 0) +
+ 7з? ([SJ+)) + V4A2 (V1 + T1) {(F) + Zfi (гХ)) {([Sr cos10) +
+ 9 ([S]+ cos2 0)} - 12a2(r2F) {а2 ([Sr cos0) +a2 ([S]-cos30)} -
- 12аа2 ([S]+ cos2 0) |(г3Х) - а2 (гХ)\ +
+ 2a2ko (rX) ([S]" cos 0) - 6ао (% + 2) (r2Y) ([S]+ cos2 0) -
- 1Ua2O (V1 + T1) {[[Я/л (А/С)1/2] {г2 (9>) + а2 (9> cos2 0)1 +
-I- (гЩ {([Sr sin 0 f 9 ([S]+)) + а2 (Л) {([Sr cos3 0) +
-f? ([S]+Cos2O))], или
210
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
[[^/(Q cos2 0 sin 0),/2] \(r23t) -j- а2 (Ж) cos2 0} Ь + <??) ((r2F) + р (i*X)} + а2 (<Р cos2 0) {(F) -J- р (гХ)Щ. (338)
Интегральные тождества получаются из уравнения (338) для функции (Z1 — Z2) точно так же, как получаются интегральные тождества из уравнения (166) для функции W. Чтобы найти эти интегральные тождества, продифференцируем решение (338) по г и по 0 и приравняем результирующие выражения тем выражениям, которым, как мы знаем, они должны быть равны, т. е. уравнениям (264). Таким путем приходим к следующим уравнениям:
¦1 - Jr E (Z1 - Z2) = X1 + X2 - W =
= (P2G1 4U-QG2 cos 0) а др2 -J-
+ (P2G3 - 4a2QG4cos0) - a%(^+Fl)-=
= I 3Z4 O^i -J- Ti) 7-2 {У ~Ь ргX) cos 0) -)- Vщ ([S]+)) -J-+ 1Aa2 (V1 + T1) (Y + 3fa-X) |([S]- cos3 0) + 9 ([S]+ cos2 0)} -
— 12a2r2Y {a2 ([S]-cos 0)-J-a2 ([S]-Cos3 0)} —
12ао2 (г2 - а2) гX ([S]+ cos2 0) + 2%а2OrX ([S]~ cos0) -
- 6аа (К + 2) /-2F ([S]+ cos2 0) - V4Ct2O (^1 + T1) (Y + frX) х X {г2 (^) + а2 (^ cos2 0)}] (Q sin 0)'/2 cos 0/Ар2 -
- [ct2a (V1 + Г0/4г/С] Ш9>, (339)
4- Ir E (Z1 - ад = F1 + F1 - ч- -
= (P2F1 - ArKFi) [Srp2cose +
+ (р2^ - ^KF4) + fll} && =
1 u 4 4/ ар2 AaQ cos О
= [-3IAV1 + Г,) {(r2Y) + /г(г‘Х)} {[Sr cos0 + 1V/ [S]+} -J--I- V4O2^i -b T1) {(Г) + 3/t (rX)} {[S]- cos*0 J- у [S]+cos20} -
— 12а2 (r2Y) (a2 -J- а2 cos2 0) [S]" cos 0 --
- 12аа2 {(г’Х) - а2 (гХ)} [S]+ Cos2 0 +
-J- 2Ха2о (гХ) [Sr cos 0 — 6 аа Ck -J- 2) (r2Y) [S]+ cos2 0 —
-- V4a2a (V1 -J- Г,) \{г2Ж) I- а2 (<%) COS2 0} {[Sj- cos О J--Y у [S]+J] [г (AKf12Ip2] - [а2о (V1 + I\)/4aQ cos 0] Я9>. (340)
94. Интегральные тождества
211
Члены, пропорциональные 919*, сокращаются как в уравнении (339), так и в уравнении (340). Оставшиеся члены в уравнении (339) представляют собой функции 0, умноженные на r3X, rX,Y и r2Y. Следовательно, можно приравнять функции 0, имеющие те или другие радиальные множители. Подобным же образом можно приравнять в уравнении (340) функции г, появляющиеся с угло-выми множителями [S]+, \S]+ cos2 0, [Sb cos 0 и [Sbcos3 0. Получаем следующие восемь тождеств:
