Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
И обратно, можно написать для функций 52 и такие диффе-
ренциальные уравнения, в которых нет и намека на функции Тью-
94. Интегральные тождества
205
кольского. Действительно, выражая производные функций X u Y в уравнении (312) через сами эти функции с помощью (150) и (151), получим второе уравнение, связывающее X и Y с производными функции Й, и это второе уравнение вместе с уравнением (311) позволяет выразить функции X и Y по отдельности через 31 и ее первую и вторую производные. Подстановка этих последних соотношений в правую часть уравнения (197) даст дифференциальное уравнение второго порядка для функции 3ty в которое не входят
X или Y. Выпишем результат перечисленных операций
Д2 г d I к d & \ , / 4а2а2 K2 \
~к Vatkk dF~K) ^ \~Ж~-=
= -,3?; {<А! +') [ - (а* - Л41 я] -
- [2^ "L+ О*.-¦)(*?.-*,)-
- (,,V+ 1)±Ь. +,(,,V - 1)1 [д “._(,_«)«]}, (315)
где
[del], = д [(,,V- - I)-^ + + 1)(А _ _ If,Ці _ г ,
(316)
fi = 4^0/(?7! -f- 1\).
Аналогичным образом получаем уравнение для функции ЯР
S)-(jSi-«¦)']-
= Wh {(?2~cos2 0) 1§г -I- [(“2 + 2Pi Ctg 0) (?2 - COS2 0) -
— cos 0 — Pi cos 0 sin 0]-^j, (317)
где
[det]0 = (1/Pi) [Pi^ sin 0 -f~ Ia1 + PtQ) (^2 — cos20) -)- cS1 (^2 -j- cos20)],
(318)
у = 4o (ka2 — 6a2)/a (W1 + T1).
а. Другие тождества, получаемые из условия интегрируемости (263). Нелишне напомнить, что явные выражения для 31 и 9* через функции Тьюкольского удалось получить с помощью тождеств, вытекающих из условия интегрируемости, рассмотренного в § 87. Кажется поэтому, что условие интегрируемости (263) уравнений (265) и (266) должно приводить к аналогичным тождествам. Для получения этих тождеств необходимы явные выражения для функций
XI + X2 и Y1 + Y2. Найдем их исходя из определений (241) и
206
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
(321)
выражений для различных «скобок» (246) и (247). После громоздких преобразований получаем следующий результат:
Xi + *2 = (rX/а A) [G1 (0) — (4а2Q cos 0/р2) G2 (0) ] +
+ (Г/А) [G3 (0) — (4a2Q cos 0/р2) G4 (0) ], (319)
F1 + Y2 - [SI- (cos 0) IF1 (г) - (ArKlpi) F2 (г)] +
+ (На) [S]+ [F3 (г) — (ArKIpi) Fi (г)]. (320)
Здесь опущен общий множитель 1/24 Y2M и, кроме того,
F1 (г) = К ($>ФР]+ + 2га [?>Р]+,
F2 (г) = г 1&&Р)+ - [?>Р]+,
F3 (г) = 3/0 [2)<ЮР]~ — 2а2а [<ЮР]~ — 6га [Я]',
F4 (г) = г2 [2>2>Р]- — г [2>Р]~,
G1 (0) = Q [SBSS]~ + 2аа [SS]~ cos 0,
G2 (0) = [SSS]- cos 0 + [SBSr sin 0,
G3(Q) = 3Q [SSS]+ cosd + (2a?a/a) [SS]+ + 6ao [S]+ cos0 sin0,
G4 (0) = [SSS]+ cos2 0 + [^Sj+ cos 0 sin 0.
Несложно проверить, что функции F1, G4 удовлетворяют следующим соотношениям:
F1 - 2К [2)2>Р]+ = - V4 (W1 + T1) Я,
F3 - AKFJr = ia (Ха? - 6а2) 31
G1 - 2Q [SSS]- = Хаа9>, (322)
G3 - 4QG4/cos 0 = V4 (^i + T1) 9>.
Обратите внимание на появление в этих соотношениях функций 91 и 9>.
Возвращаясь к условию интегрируемости (263), заметим, что оно требует равенства двух выражений
-HKI--e^-zA =
= bXI2W ) + и* - (rI + + (A2 + B2) -
— |(^i Н~ ^i) Д,/2 (дї/2) №2 ~Ь B2) ¦
+ (A^B1)(A2-B2)W], (323)
-E-МІ-e^-zA =
dQ
-J (X1 +X2) + (A1 -B1) (X1 + X2)
94. Интегральные тождества
207
+ (A1 + В{) Л'/* JrOF/A'/*) - [(A1 + B1) A’/21 (^2) +
+ Ma + B2) + (^1 - S1) (At + B2) . (324)
Заметим, что выражения в фигурных скобках в обоих уравнениях совпадают, следовательно, достаточно рассмотреть только остальные члены.
Подставляя вместо X1 + X2 и Y1 + Y2 выражения (319) и (320), находим, что эти оставшиеся члены в уравнениях (323) и (324) можно привести к следующему виду (если надлежащим образом использовать различные соотношения (248) и (322), а также тождества для функций Я и 9*):
Д1/2
dr [ ді/2 J
2Fjr + (2a2o/r) [ФФР]"
Д1/2
d
dr
dr
(#)
roF2 — F1/2
[S]“ cos0 -f-
2F3/r + (4 a2a/r2) Fi
d / KFi \ dr [ ді/2 J
WFi — Fs/2
d G1 d0
2—Je1- [SSS\~\ -
1 a cos 0 L 'J 1
cos 0 f 4a2 cos 0
г
9й
-L (QG2) — aoG2 cos 0 + V2C1 sin 0 j j
і [S]+
rX а Д
(325)
dG*
d0
0 sin 0 n
1 ТБГё °3 ~
4a2a a cos2 0 °4
4a2 cos 0
[4- - ao°4cos 0 + V2G3 Sin 0 ] j L. (326)
Нашей целью является приведение уравнений (325) и (326) к такому виду, чтобы, помимо простых множителей типа г2 или cos2 0, в них входили только функции X, Y, [S]+ и [Sb, а их производные отсутствовали. Необходимые для этого преобразования, хотя и не столь громоздкие, как при исследовании условий интегрируемости в § 87, тем не менее не являются простыми. В результате получаем
[S]~ COS 0 ГГ 1 / ап і -n \ / п о , ..о_о л\ / і/ ! 4Xg
P2 Д
[S]+
V4^I + T1) (- Зг2+ a2COS20) (у + ^0T1 гх + 2or (a2 + a2 cos2 0) (XX - багУ] -f [а (Xa2 - 6а2) (— г2 Hr За2cos20) (г + гХ)
' ар2 Д Ц v ~ 7 v 1 ^ > \ '¦ &i + T1
2а2а {бог (г3 - а2) X -+ [(Xa2 - 6а2) + З (X + 2) г1} Y\ cos2©], (327)
208
Г лава 9. Г равитационные возмущения черной дыры
Jgr [Ьс (- л* + 3J OS--8) {[SI- cos 8 + ~ [S1-
— 2аа (г2 — а2) {Я, [S]~ + бао [S]+ cos 0} cos ©J +
