Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
со, 2 = —2аМ [(г2 -)- а2) (Зг2 — а2) —
— а2 (г2 — a2) sin2 0]/24. (140)
Теперь нетрудно получить следующие формулы:
Яшз = - [(Л8)1/2/4р2%2] (XttYt2- X, 2У,3) =
= аМ cos 0 (Зл2 — a2 cos2 0)/р6 = —(Ri%3о “Ь 1802)1
¦^12зо — R1302 = (^2 sin 0/2р4) [—со, r (и2 ~~Ь Из), в —
— Ю, е (м*2 + Из), Г + ^(^Ч’со, r/sin 0), е Sin 0 +
+ е~4^ (^COj е/А sin 0), Г Д sin 0] =
= — 3 (аМ cos 0/р6) (Зг2 — а2 cos2 0) 2-2 [(г2 -f- а2)2 + а2A Sin2 0],
Я2323 = (А|/2/Р2)[(И2,«/А1/2),з + (H3l2A1Z2)l2] =
= Mr (Г2 — Зй2 COS2 0)/р6 = R0202 “Ь ^0303 = -------1010,
2^1330 = (e34)-v-^5(0) з)> з -|- e4)-2mr-v(0) 2^3) 2 =
= —2 (Mr/р6) (г2 — За2 cos2 0) (ЗаД'/2/22) (г2 -j- а2) sin 0,
22
Глава 6. Метрика Keppa
2#шз (ЛІ/2/р2) Г(3гр -f- v), 32 -f- Згра з'ф, 2 + v, 3V, 2 —
(Зг|) -J- v), 2^2, з (З'ф + v), 3^3> 2 ] —
= —2 (aAf cos 0/р6) (3г2 — a2 cos2 0) (За А1/2/22) (г2 + а2) sin 0, 3#ізіз #зозо = є 2^3 [Згря зз —f- Vj 33 -|- 3 (Ifj 3)2 -f- (v, 3)2 (З'Ф ~Ь Vjj 3[X3j 3] Є 2^2 (Зф -f- v), 2^3, 2 =
= —(Ліг/P6) (г2 — За2 COS2 0) 2-2 [5 (г2 + а2)2 + а2 A sin2 0 ]. (141) Наконец, с помощью соотношений (138) и (139) получаем
#1023 —аМ cos 0 (3г2 — a2 cos2 0)/р6,
#1230 - — (аAr cos 0/р6) (Зг2 — а2 cos2 6) 2~2 [(г2 + а2)2 +
+ 2а2 A sin2 0], #ізо2 = -\-(аМ cos 0/р6) (Зг2 — а2 cos2 0) 2"2 [2 (г2 -J- а2)2 -f
+ а2 A sin2 0 ],
—#3002 = #1213 = —{аМ COS 0/р6) (Зг2 — а2 cos2 0) X
X (За А1/2/22) (г2 -f- а2) sin 0, -#1220 = #іззо = -(Mr/р6) (г2 — За2 cos2 0) (За A1Z2AS2) х
X (г2 + а2) sin 0,
#1010 = #2323 “ ~\~(Мг/р6) (г2 За2 COS2 0) = #0202 ~Ь #0303» —#1313 = #0202 = +(Mr/P6) (г2 — За2 COS2 0) 2~2 х
X [2 (г2 -f- а2)2 + а2 A sin2 0 ], —#1212 = #0003 = —(Mr/P6) (г2 — За2 COS2 0) 2~2 х
X [(г2 + а2)2 -f 2а2 A sin2 0]. (142)
Замечаем, что не равные нулю компоненты тензора Римана становятся сингулярными только при 0 = я/2 и г = 0; следовательно, 5/по единственная сингулярность пространства-времени Керра.
55. Единственность метрики Керра; теоремы Робинсона и Картера
Мы видели, что метрика Керра, заданная на стационарном аксиально-симметричном асимптотически плоском пространстве-времени, обладающем выпуклым гладким горизонтом событий, характеризуется только двумя параметрами — массой M и моментом количества движения (J = аМ). Единственность метрики Керра для описания черных дыр следует из теоремы Робинсона,
55. Единственность метрики Керра
23
которая гласит: стационарные аксиально-симметричные реше-
ния уравнений Эйнштейна в пустоте, имеющие гладкий и выпуклый горизонт событий, являющиеся асимптотически плоскими и регулярными вне горизонта, однозначно определяются заданием двух и только двух параметров — массы и момента количества движения. ~
Доказательство теоремы Робинсона основано на использовании тождества (см. уравнение (156) ниже), которое выводится из уравнений (ср. с уравнениями (80) и (81)):
? = 0, F = 0, (143)
где
E (Xi Y) = [(ті2 - \)Х, V*], л + W - I) Y2t ,/X2 +
+ [(I - tf)X, JX), * + (I - Ji2) Y^/X\ (144)
F (Xi Y) = [(rf - I) Yt п/Х*1 ті + [(I — ^2) Y9 ,/X2],(145)
Напомним, что при выводе уравнений (80) и (81) мы использовали калибровочный произвол, чтобы горизонт событий соответствовал значению г) = 1. Кроме того, из выражений (144) и (145) для операторов EnF ясно, что если (Xf Y) представляет решение уравнений, то (сХ, cY), где с — произвольная действительная постоянная, также будет их решением. Следовательно, не теряя общности, мы можем предположить, что интересующие нас решения X имеют на бесконечности одинаковое асимптотическое поведение (ср. с уравнением (85))
X (I — M*2) Ti2-J-O (ті) (ті оо). (146)
Это ограничение на решения эквивалентно рассмотрению решений с одинаковой массой.
Соответствующие асимптотики для Y имеют вид (ср. с уравнением (86))
У +2J1X (3 -Ii2) + О (Tf1) (ті + оо), (147)
где J—момент количества движения.
Помимо того что решения X и Y должны обладать асимптотиками (146) и (147), в соответствии с условием, чтобы пространство-время было асимптотически плоским, потребуем, чтобыX и Y были гладкими и регулярными на оси (jj, = ±1) и на горизонте (ті = 1), а также были регулярными вне горизонта (т| > 1). Казалось бы, можно найти |несколько решений с одинаковым значением Jf удовлетворяющих вышеприведенным требованиям. Теорема Робинсона утверждает, однако, что для каждого значения J существует не более одного решения. Доказательство проводится от противного: если существуют два решения (Хь Y1) и (X2, Y2) для одного значения Ji то они должны совпадать.
24
Глава 6. Метрика Keppa
Предположим, что существуют два решения (X1, F1) и (X2, F2), принадлежащие одному и тому же значению Jy и, следуя Робинсону, рассмотрим функционал
00 1
R = JJ [(X1/*,) (F2 - Y1) F (X1, Y1) +
1 -1
+ (X2IX1) (Y1 - Y2) F (X2, Y2) +
+ (1/2Х,Х2) [(F2 - F1)2 + (X22 - X?)] E (Хь F1) + + (1/2Х,Х2) [(F2 - F1)2 + (X? - Х|)] E (X2, Y2)) dr] d|i. (148)
Вследствие уравнений, которым удовлетворяют пары (X1, F1) и (X2, F2), функционал R должен тождественно равняться нулю. Мы, однако, покажем, что единственно в силу определений операторов ? и F и граничных условий, наложенных на решения, функционал R может быть сведен к интегралу от положительно определенного выражения. Приведение функционала к такому виду опирается на два элементарных алгебраических тождества, составляющих содержание следующих лемм Робинсона. ЛЕММЫ РОБИНСОНА:
