Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 68

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 126 >> Следующая


где

(х, v)4[pMf-^K]-

(273>

= 2 V 2 TZpr °*]

+ ^p1^rW + -Fr]' (274)

Переписывая уравнение (271) в виде

А1ГР2+ -T-Pa^+ G) =

__д _д___P2 Г rKQ s^n в /р_________^P2 у ___

~~ dr г/CQ sin 0 L А ' 'J г AQ sin 0 2

“-їїіпгИ*- vI-I*' vI*] <275>
92. 0вные решения для функций Z1 и Z2

и используя уравнение (269), получаем

W ж{-z> + [-lTT--Tt) z* - X.] - Telz-"

= —2i(rKQ/a) [|х, v) — {х, v}*]. (276)

Аналогичным образом, переписывая уравнение (272) в виде

sln0WP2iii^+QP2<'/-//) = 2^’ 0I*! (277)

и используя уравнение (270), имеем

їіп о _д_____P2 Г (г* + a2) ctg Є 7 і аК cos Є , • у I ,

Sin0 ЄЄ /CQcos0sine L P2 Qp2 z2+yiJ +

+ rarZi = 2[^’ °> + ^’ aH- (278)

Расписывая теперь левые части уравнений (276) и (278) и снова подставляя вместо производных функций Z1 и Z2 выражения (249)—(252), получаем после довольно громоздких преобразований следующую пару уравнений:

[(р2/Д) (a2 -M2- К2) - (о/К) {Aa2cos20 + 2ф2 (г—М) — 2r2A}] Z2 + + (Зао/К2) (г2 AQ sin 0) Z1 = (arQ/K) sin 0 AX2 +

+ [р2 (г - М) - гА] X1 + (гKQja) { A -J- [*' v]~[x’ v)* -

-2t[{x, v} - {х, v}*]}, (279)

[р2 (Q2 — cosec2 0) + (aa/Q sin 0) (3r2 sin20 — 2p2)] Z1 —

— (3a2a/Q2) (/C cos2 0) Z2 = - [(r2 + a2) ctg 0] Y1 + (аК/Q) cos 0 Y2 +

+ (QftcosO)j-sinO-^> q]* + 2[{X, a} + {?,, a}*] j, (280)

где

{x, v} — {x, v}* =

= {if24 /2 MA) [F -a2cos20) 2a2 [S7SrsinO cosO} —

— 2arX{[^^S]+cos0 + [^S]+sin0}], (281)

{A,, a} + {X., a}* =

= (1/24 -/2 M) [{(r2 - a2 cos2 в)[&2>Pf - 2г [2)Р]+\ [Sl+ -

- 2 ia I г [?>?>P]- - [&>PY\ [S]~ cos Oj. (282)

Теперь очевидно, что достаточно любого из уравнений (279) и (280) для определения функций Z3 и Z2, поскольку их сумма равна Ч'. Удобнее, однако, анализировать оба уравнения, используя присущую им симметрию, что мы и сделаем.
200

Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры

а. Преобразование решений для Z1 и Z2. Заменим в левой части уравнения (279) функцию Z1 на ? — Z2, а в уравнении (280) сделаем аналогичную замену Z2 -> ? — Z1. Кроме того, в правых частях этих уравнений заменим функции X2 и Y2 выражениями (254) и (255), содержащими только функции X1 и Y1. Уравнения (279) и (280) при этом принимают следующий вид:

р2 [(1/А) (a2 -M2- К2) - (оА/К) {1+2г (г - M)/А - 3ro2/K\] Z2 =

_ arQ sin 8 д /Д1/2_а_ _ Зга_ „Л

~ К \ дг ді/2 К )^

, гKQ ( Д / д . г — M Зга

[-ТІ4- + +Ti - тг) «»• vI -vI*! -

— 2/ [\к, v) — \х, v}*] 1, (283)

P2 [(Q2 — cosec2 0) + (aa/Q sin 0) (3 sin2 0 — 2 + (3ao/Q) cos2 0 sin 0)] X

w v _ a/C cos 0 / 3aacos0 ш\ ,

X Zl ~ Q ^ ae ~ Q T) +

+ (Q/сcos 0) {[-(4-+ ctg 0) + -^2.cos 0] \[k, a] - [X, of} +

+ 2[{X, a\ + {K, a}*]). (284)

Подставляя теперь сюда выражения для спиновых коэффициентов (246), (247), (281) и (282), получаем следующие решения для функций Z1 и Z2 (мы опустили общий множитель 1 /24iX2М)\

р2 [(Q2 — cosec20) + (З sin20 - 2 + -^r-COS2 0sin 0) Z1 =

= -1U (V1 + T1){Я [[S]-cos 0 + [S]+'

— 3ag^os6 319> j + К cos 0 [US7Sr - [ctg 0 + (3aa/Q) cos 0] [S]~ +

+ Q [S]+I К'2 - a2 cos2 0) [?>?>Р]+ - 2г [2)Р]+\ -

— 2Ia {[ SS]+ — (1/sin 0 cos 0 + 3aa cos 0/Q) [S]+ + Q [S]‘} X X Ir [3>3>Р]~ - [2>P]-\ cos 0 + 2a2 [?>?>P]+ [S]' sin 0 cos 0|, (285)

P2 [(a2 -Mi- K2)/A - (aA/K) j I + 2r(r- Af)/A - 3r2a//C}] Z2 =

= V4(^i + r1)^|^-A{^(7+^FrrX)-^-^} +

+!!('«-(т+т)1+*!-!=1

X {(г2 — a2 cos2 0) [SSS]~ — 2a2 [^S]" sin 0 cos 0[ —
92. Явные решения для функций Z1 и

201

X

- 2аг { і [SDPr + ( MrrA g2 + ^-) У + KX/А

X {[SSSr cos 0 + [SS]+ sin 0} + 2г [SSS]- х}. (286)

Разумеется, необходимо, чтобы функции Z1 и Z2, определенные уравнениями (285) и (286), удовлетворяли требованию

Z1+ Z2 = V4^ ! + T1)^. (287)

б. Дальнейшие следствия из уравнений (211) и (212). Мы рассмотрели мнимую часть уравнения (211) и действительную часть уравнения (212). Остается исследовать действительную часть уравнения (211) и мнимую часть уравнения (212), которые имеют следующий вид:

-iK{F\ - Fi) 4- Д - /2 (iar sin 0) В, +

+ j/2 (a2 sin 0 cos 0) (F — G) = — |/2 [{и, v[ + {и, v|*]

(288)

— (iaQ sin 0) р2 (F4 — F3) + ш sin 0 + ]/2 (а2 sin 0 cos 0) Ci —

— у 2 (iar sin 0) (У + Н) = /2 [{Ь, а| - {Ь, а}*]. (289)

Ha первый взгляд кажется, что уравнения (288) и (289) задают функции U и V, которые до сих пор не были определены: с самого начала нашего исследования в § 86 функции UwV всегда появлялись в комбинациях (F12 + Ff — U) и [р2 (F% + F43) + V], несмотря на то что в выражения (127)—(130) для B1, B2, C1 и C2 они входили явно. Однако, как мы сейчас удостоверимся, члены с U w V в уравнениях (288) и (289) тождественно сокращаются. Действительно, в уравнении (288), кроме члена AUir, функция U появляется в решении для B2 и (F12 — F\) (уравнения (128) и (187)). Выпишем эти члены и найдем, что

дг

Р4 Д _Q Y2

Qp2 V 2

А ІК

KA д р2 дг

и

у '2 {iar Siu 8) ------ U

2 А г / . лч JJ і А dU

(aQ sin 0) U + А \

P 2K

0. (290)

Аналогично в уравнении (289) пом імо члена (ia sin 0; 1/,е функция V появляется в решениях для C1 и (Fl — FD (уравнения (129) и (189)). Выписывая эти члены, получаем
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed