Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
ЛЕММА:
1) A1B2 — A2B1, (A1 -j- B1) (A2 — B2) = (A1 — B1) (A2 -f- B2);
2) A1 + B1 = a2a/aQ cos 0 (функция только 0);
3) A2 -f B2 = а2а/гК (функция только г);
4) OA1Idr = дА2/дв] OB1Idr = OB2Idfr,
5) О In Eldr = A2 -B2- (г — Л4)/Д; 5 In ?/д0 = Лг — B1;
6) Лх 5 In ?7dr — A2 О In Е/дв = —A1 (г — М)/А;
7) B1 О In EIOr -B2O In Е/Ов = -B1 (л — Л4)/Д. (248)
Поскольку 1F = Z1 ArZ2, то по существу смысл уравнений (242)—(245) в том, что производные функций Z1 и Z2 по г и 0 можно выразить в виде линейных комбинаций самих функций Z1 и Z2. Действительно, используя соотношения, перечисленные в лемме, получаем из уравнений (242)-(245)
-§2- = - (A2 - -^L) Z1 - B2Z2 + X2, (249)
JgjL =-A1Z1-B1Z9+ Y1, (250)
7*
196
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
= +A2Z1 + (B2 + ^-) Z2 - X1, (251)
"Ir =+A1Z1 + - Y*- (252)
б. Условия интегрируемости. Уравнения (242)—(245), или, что эквивалентно, уравнения (249)—(252), приводят к условиям интегрируемости, представляющим некоторый интерес. Действительно, складывая уравнения (249) и. (251) и уравнения (250) и (252) и вспоминая, что ? = Z1 +Z2, получаем следующую пару уравнений:
Д‘/2 4-^ТГ = -(X1-Xi), ^r = + (Уг - YJ. (253)
Вследствие известных свойств функции xY (см. уравнения (173), (175) и (176)) из этих уравнений вытекает, что
Х‘-Х‘ = -^Йш(? + ЖТТГгХ)!/’- (254)
(№со$ 6+1SStt isH ^ (255)
Если учесть сложность уравнений, которые определяли функции X1, ..., Y21 вышеприведенные соотношения удивительны — их трудно было предвидеть. Однако в рассматриваемом случае их можно непосредственно проверить, правильно использовав соотношения (178), (179), (183) и (184).
Уравнения (242) и (243) и (244) и (245) также приводят к паре уелови й интегрируемости
-Jr (A1EW) - ± (A2EW) = -Jr (EY2) - A (EX1), (256)
^ (B1EW) - ± (B2EW) = -Jr (EY1) - ± (EX2). (257)
С помощью соотношений, перечисленных в лемме, можно привести эти уравнения к виду
<258>
в-д,в?-^-в*тг = 4(??У*-ж?*0- (259>
Подставляя для величин в правых частях уравнений (258) и (259) выражения (253), получаем следующую пару уравнений:
Д1/2 W (~?к) -пяг = ~в'х' + - A*Vi + в*у*’ (260)
Д1/2 W ($г) ~ T = -b^ + - A2Y1 + B2X2. (261)
92. Явные решения для функций Z1 и Z2
197
Разность этих уравнений дает
<2и>
Ho это соотношение как раз и следует из уравнений (253) как условие интегрируемости. Однако сумма уравнений (260) и (261) (после некоторых преобразований, в которых существенным образом используются соотношения, перечисленные в лемме) приводит к новому соотношению
-Hr E [(F1 + F2) - (A1 + BJV] = -^ E [(X1 + X2) - (A2 + B2) W]. (263)
Это соотношение должно быть тождеством, поскольку все входящие в него величины известны. Ниже в § 94 мы рассмотрим следствия, вытекающие из этого тождества.
Вернемся опять к уравнениям (242)—(245). Вычитая уравнение (244) из (242) и (245) из (243), получаем следующую пару
уравнений:
-Ir E (Z1- Z2) = E [(X1 + X2) - (A2 + B2) П
а (264)
E (Z1- Z2) = E [(Y1 + Y2) - (A1 + B1) П
Уравнение (263) гарантирует интегрируемость этих уравнений, и решение для функции E (Z1 — Z2) имеет вид
г
E (Z1 -Z2) = \ E [(X1 + X2) - (A2 + B2) ЧЧ dr, (265)
или
0
E (Z1 -Z2) = \е [(F1 + F2) - (A1 + B1) ?] de. (266)
Это решение является лишь формальным, поскольку в подынтегральное выражение входит много функций. Ниже, в § 92, мы покажем, как из оставшейся пары уравнений (211) и (212) с помощью (249)—(252) можно найти явное решение для функций Z1 и Z2.
92. Явные решения для функций Z1 и Z2
Основным результатом исследования пары уравнений (209) и (210) (которые были выведены из четырех линеаризованных тождеств Риччи (204)) является получение уравнений (249)—(252), позволяющих выразить производные функций Z1 и Z2 в виде линейных комбинаций самих этих функций. Покажем теперь, что используя оставшуюся пару уравнений (211) и (212), можно найти решения для функций Z1 и Z2.
198
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Ho прежде заметим, что с помощью уравнений (249)—(252) можно в любом уравнении, в котором встречаются производные функций Z1 и Z2 (независимо от порядка этого уравнения), заменить производные любого порядка на сами эти функции. Рассмотрим в качестве примера уравнения (131) и (132). Переписывая правые части этих уравнений через функции Z1 и Z2, получаем
(rKQIA) sin 0 (F — G) = dZ2/dr - Z2Ir - (2arQ/Kp2) sin OZ1, (267) KQ (J + Н) cos 0 - dZJdQ + Z1/(cos 0 sin 0) + (2aKIQp2) cos 0Z2.
(268)
Подставляя вместо производных функций Z1 и Z2 выражения (250) и (251), имеем
(rKQIA) sin 0 (F — G) = — (arQ/Kp2) sin OZ1 +
+ [(г -MVA-TZp2JZ2 -X1, (269)
KQ (J + Н) cos 0 = [(г2 + а2)/р2] ctg OZ1 + (aK/Qp2) cos OZ2 + Y1.
(270)
Для дальнейшего анализа нам понадобятся мнимая часть уравнения (211) и действительная часть уравнения (212). Эти уравнения могут быть записаны в следующем виде:
S)-\p2F + ^tip2G = (2/iasin0) [{«, v) - (к, v}1, (271)
р2 [S^1J + SUH -(2a2 sin 0 cos 0/р2) (J + Я)] = 2 [{А,, а) + {Х, а}*], (272)
