Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
После такой операции уравнения (213) и (214) принимают вид
(ia sin 0) j (А/С)1/2
_д_
дг
P2
F + G
<W
(Q sin 0//2-?-
(Д Я)1/2
о J-H
к
(Q sin 0)1/2.
+
= [х, v] - [х, V]*, (218)
[X, a] - [X, a]\ (219)
Вернемся снова к уравнениям (209) и (210) и рассмотрим их действительные части
(l/l/2") г/С (Fj + F? - I/) + (a sin 0) [Zr (/ - Н) - a (F + G) cos 0] =
= [«» v] + [и, V]*, (220)
(і/j/2 ) iQ (a sin 0) [р2 (F\ + Ft) + V]— ,
— (a sin 0) [ir (J — Н) — a (F + G) cos 0] = [X, о] + [Я, о]*. (221)
Проделывая с этими уравнениями аналогичную операцию, но теперь с помощью других соотношений
ir (J — H) — a (F + G) cos 0 =
— (ia2a/arQ sin 0) р2 (J — H) — (ia cos 0/rQ sin 0) W —
= _ (a2OlaK cos 0) p2 (F + G) + (ir/K cos 0) ?, (222)
91. Решение уравнений (209) и (210)
193
приведем уравнения (220) и (221) к виду
{\IV2)iK{F\ + F21-U) + (Iaap2IrQ) (J-H)- (ia?cos Q/rQ) 1F =
= [x, v] + [к, v]*, (223)
(I//2) iQ (a sin 0) [,о2 (F43 + F43) + V) + (a2a sin 0/К cos0) р2 (FjrG)-
— (iar sin Q/K cos 0) xY = [А,, о] + ІЛ, о]*. (224)
Теперь можно исключить комбинации (F\ -(- F\ — U) и [р2 (FI + Ft) + V] из уравнений (223) и (224), воспользовавшись уравнениями (134) и (136). Эти последние можно записать в следующем виде:
(MY2)Q (F12 + F21-U) + Д1/2 [Р2(J~я)/д'/21 = (*. v)>
-(1//2 ) iK [р2 (Fl + F43) + V) + -А- р2 (F + G) = (Я, 0),
где
(х, v) = (l/2p2j [(Д/2) (р*х* — рх) - (2р4/Д) (p*v - pv*)],
(X, о) = (1//2 р2) [(р)2 (р2Х* — Да/2) (р*)2 (р2К — Да*/2)].
Исключая указанные комбинации, получаем пару уравнений
(225)
(226)
(227)
(228)
Кд,'!у(ег+ітг-)
= /Q{[x, v] -j- [х, v]*l + /((x, v), (229)
/л . лч д 9 / п і />\ і а2(Т sin 0 2 / г? і />\ iar sin 0 -»тр
(Са5іп0)жр-(^ + С) + -^-р2(^ + О)-----------^e-1F =
= #{[*,, а] + [Х, а]*[ + (Qasin 0)(?,, а). (230)
Левые части этих уравнений можно записать и в другом виде
(acos0) (Q sin0)l/2
*1/2 иг
гДІ/2 Р ( (Q sin 0)1/2
*)1
(F + G)] —
Л_ 0,2 CQS ^
J г2 (А/С)1/2
OJf I
І Г Sin 0
cos2 0 (Q sin 0)
1/2
(231) \|Г I
(232)
Выпишем полностью полученную систему уравнений для комбинаций функций Fj-Gn J — H:
д_
dr
1
P2 (F+ G)
L (Д/()1/2
d f (Q sin 0)1/2 00 L COS 0
7 Чандрасекар С., т. 2
ia
(K3A)t^
P2 (F + G)
І Г Sin 0
cos 0 (Q sin 0)
16(Д/С)1/2
? =
|[Х, V] - [X, Vf
(233)
1/2
194 Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
_а_
дг
д
ае
______________1
a cos 0 (Q sin 0)1 *1/2
72 [К\[К о] + [X, о]*\ + (Qasin 0) (X, а)], (234)
р
+
Y =
л2 (ЛЛГ>1/2
(Hr) (AK)-V^iQ \[к, V] +[и, V]*}+/C(x, v)|,
(235)
(Q sin Є)1/2
P2(J-H)
(Q3Sin в) V2 I
W =
{[X, о] - IX, ст]*}
(236)
(237)
~~ (Q sin 0)|/2
а. Редукция уравнений (233)—(236). Положим
Z1 = К (J — Н) cos 0, Z2 = —irQ (F + G) sin 0, так что
W = Z1 + Z2. (238)
Будем искать такое преобразование уравнений (233)—(236), чтобы в окончательных уравнениях J — Я и F + G появлялись в комбинациях Z1 и Z2. Этого можно достичь, если умножить уравнения (233)—(236) соответственно на множители —і (Q sin 0)1/2/cos 0, —H(AK)V2, I/(Q sin 0)1/2 и Kxi2Sr Д1/2. Действительно, вводя определения
E = р2Ir cos 0 (AKQ sin 0)‘/2, (239)
A1 = (г/р)2 sin 0/cos 0, B1 = (a/(/p2Q) cos 0,
A2 = (arQ/Kp2) sin 0, B2 = (a2/rp2) cos2 0,
X1 = (rQ/ap2) {[x, vl — [x, v]*},
Y1 = (K/P2) cos 0 {[X, a] — [A., a]*},
X2 = (cos 0/p2)[[iQ {[x, v] + [x, v]*l + K (X, V)],
K2 = (j'r/ap2) IK\[X, a] + [X, a]*} + Qa sin 0 (X, a)],
находим, что после умножения на указанные множители уравнения приобретают удивительно простой вид
-If EZ2 -.A2EW = -EX1, (242)
(240)
(241)
-^EZ2-A1EW=-EY2, -Jr EZ1 + B2EW= +EX2, EZ1 +B1EW= +EY1.
(243)
(244)
(245)
Для дальнейшего отметим, что различные выражения со скобками, в которые заключены спиновые коэффициенты, появляю-
91. Решение уравнений (209) и (210)
195
Іциеся в определениях величин X1, X2, F1 и Y2, расшифровываются следующим образом:
(х, v) =(12/2 MA)-1 {rX [SS}~ + aY {[^5]+cos0 + 3[S]+sin 0}Ц, [%, v] - [к, V]* = (24 /2 TWA)-1 ІХ ((г2 - a2 cos2 0) [SSSST -
— 2а2 [,SPSj-sin 0 cos0) + cIarY [[SS1S]+ cos 0 + [SS]+ sin0j], [к, v] -f- [и, V]* = (//24 У 2 MA) \2arX \[SSS]~ cos 0 +
+ 2 [^S]-sin 0} + Y {— (г2 - а2cos20) [SSS]+ +
+ 4а2 [SS]+ sin 0 cos 0 + 6а2 [S]+ Sin2 0}]; (246)
(X, а) = (12 /2 M)-1 Ц-r [ФРГ + 3 [PD [S]+ +
+ ia [SDP]+ [5]" cos 0],
[X, а] - [X, о]* = (24 /2 /И)-1 [{— (г2 - a2cos20) [S>S>Pl+ +
+ 2г [?>Р]+) [S]~ + 2ia \r [2>2>Р]~ - [2>Р}~\ [S]+ cos 0j,
[X, а] + [X, а]* = (24 /2 Af)-1 [2ia [r [SDSDP^r - 2 [3>Р\+] х
X [S]" cos 0 + {— (г2 - а2 cos2 0) [2>&Р]- + Ar [@Р]' - 6 [/>]*} [S]+].
(247)
Существуют довольно неожиданные соотношения, связывающие коэффициенты Е, A1, A2, B1 и B2. Эти соотношения играют решающую роль в ^установлении разрешимости уравнений (242)—(245). Мы перечислим их в следующей лемме.
