Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
— 8ааК (Q cosec 0 — аа cos2 0)} [S ]"], (185)
— V4 (V1 + T1) 9> = (1/рх) [{2Q2 (V1 + T1) -
— 8aol (Q cosec 0 — ао cos2 0)} [5 ]+ cos 0 +
+ {— 2 (Q ctg 0 — асг cos 0) (^1 + T1) -f- 8aoXQ2 cos 0} [S Г cos 0 —
— 2{ [ (Зав cos 0) P1 + a2Q ] [S]+ +Q (а± + ^71) [5 ]"} sin 0].
(186)
Читателю не нужно объяснять, что соотношения (178), (179),
(183) и (184) удивительны не только сами по себе, но и тем, что они дают явные выражения для неопределенных интегралов, через которые функция xF была первоначально определена. Мы еще вернемся в § 94 к этим аспектам решения условия интегрируемости.
89. Завершение редукции системы II и дифференциальные уравнения для функций Ж и
В § 86—88 мы ограничились исследованием четырех уравнений (134)—(137), выведенных из восьми уравнений (133), которые в свою очередь эквивалентны системе II. После того как мы удовлетворим условию интегрируемости, следующему из этих уравнений, остаются два уравнения, именно уравнения (134) и (136), и, кроме того, решение для функции xF, которое мы нашли. Необходимо рассмотреть остальные четыре уравнения, независимо от уже рассмотренных.
Вычитая второе уравнение из первого в каждой из четырех пар уравнений, входящих в (133), получаем
Y 2 Qp2 (Fl - F?) + A Jjr-4- B2 + (ІК!А) р4 (J-H) +
-j- 2wp2 (F — G) cos 0 = V2А (р*х* — рх) + (2р4/А) (p*v — pv*), (187)
89. Завершение редукции системы II
187
/2 P2 -IL (Fi - Ff) - A -Ir B1 + (І*/А) р4 (/ + Я) +
+ 2шргС2 cos 0 == 1Z2A (р*х* рк) + (2р4/А) (p*v -f- pv*), (188)
- г A p4 (Fl - - (1//2) (^- - ctg 0) P4C1 -
- (Q/-/2) р4 (F + G) - -р/2 шгр2 (/ + Я) sin 0 = (р)2(р2Х* - Аст/2) -
-(р*)2(р2Х +Аа*/2), (189)
- р2А -Ir р2 (Fl - Ft) - (1/1/2) (4- - ctg 0) P4C2 -
— (Q//2) р4 (/7 — G) + 7/2 Iarp2Bl sin 0 =
= - (р)2 (р2Х* + А а/2) + (р*)2 (р2Х + Аа*/2). (190)
Исключая величину (F\— Fi) из уравнений (187) и (188),
имеем
~т~ [1/аЛ — рх) + (2р4/д) (p*v - Pv*)] -
— (Л/2р2) (р*х* + ри) — (2р2/Л) (p*v -f- pv*) =
2/acos9 * Г д 0 д /Т ГГ\ , 4а2 cos2 0
Q2P2
f л Г д ъ д / т гт\ ,4а2 cos2 0 , т ггЧ] ,
А [“аГР ^Г^-Я) + ^—(у- я)] +
. 2ш sin 0 д 5 2 F — G 2iKa _
Tq ~Wr д Q5T" —
2 іаД
Q2K
Аналогично, исключая р2(/ч— ^з) из уравнений (189) и (190), находим
А тг 1W-№)2 (р2^ - Л(Т/2) “ (р*)2 (р2^ “ А(Т*/2)] +
+ jP- [-(P)2 (Р2^ + Ла/2) + (Р*)2 (Р2* + Ао*/2)] =
2iarA sin 0 Г д о/ д . \ r>\ \ 4а2 /-2Sin2 0 , п , А1 .
1-50-р (“аГ+ ct^е) + °) + —------------------(F + G)J +
2аД sin 0 д cos2 0 /,¦ , m , 2аД<2
К,cos 0 “ЗО” sin 0 ^ + к* т —
K2 P2
2аД
Отметим, что в преобразованиях, приводящих к окончательному результату в уравнениях (191) и (192), важную роль играет уравнение (168).
188
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Уравнения (191) и (192) могут быть записаны в альтернативной форме
ia^ ( д / к д W \ / 4а2о2 K2 \
К І дг Vа дг К / K2 Л2 / j “
= VsQ1 (г; (-M -і- +¦ v) - г. +%л і+^ v)},
(193)
т-f)-(i^-Ss) 1I =
= W*1 !®г X [-X0*]-
— (P)2 А,* + (р*)2 j. (194)
Подставляя известные решения для спиновых коэффициентов
XHvb правую часть уравнения (193), находим в результате преобразований, аналогичных преобразованиям (153), что
[{Q [SSST - 2аа [S’S]" cos 9} rY -
12 V2 MA
— a\Q [SSS]+cos 0 + 2 (Q sin 0 — acrcos20) [i?S]+ —
- 6aa [S]+ cos 0 sin 0} X] = ia Vl + Гі (X - rY) 9>, (195)
L J ' -11 48К2МД V + Ti / v '
где на последнем шаге были использованы соотношения (183) и
(184). С другой стороны, факт разделения переменных функции ? (уравнение (173)) позволяет записать правую часть уравнения (193) в виде
<|96>
Мы приходим, таким образом, к следующему дифференциальному уравнению для радиальной функции
(197)
Рассматривая затем уравнение (194), аналогичным образом находим, что правая часть его может быть записана в виде
{гК 1&ФРГ - 2 (Г2а + К) [SDPr + 6га [Р]~] [S]~ +
+ ia {К [?>?>Р]+ - ^ra [ФР]+] [S]+ cos 0j =
= 12V/lM {ia (Ха2 - 6а2) Я [S]~ + V4ia (V1 + T1) <% [S]+ cos 0} =
_ a(Wі + Г1)й5(гСі+_ „ . 4а(Яа2_6а2)
48 1^2 M
I [[S]+ cos 0 + 4a^2i + ^ [Sr], (198)
90. Четыре тождества Риччи
189
где на последнем шаге были использованы уравнения (178) и (179). Левая же часть этого уравнения дает
Мы приходим, таким образом, к следующему дифференциальному уравнению для угловой функции
¦g-Ьі'(«тгт)-(і?!--«2)у’] =
= -2 [(Sf cose+ [Sr}. (200)
Уравнения (197) и (200) можно записать в альтернативной форме
A2 / d2ffi__2 го dffi . 2 аД2 K3 о / v______4Яа у \ /от\
К \ dr2 К dr ^ KA2 <^1 + Ті гу )’
Ir d2^ / 2ао а , а\ № ,
Q d02 VQ ^ ) d0 +
+ ^Q2 — cosec2 0 —cosec =
= - 2 j [S]+ cos 0 + 4^2~fe2) [S]~ у (202)
Таким образом, условия интегрируемости уравнений (187)— (190) приводят к замечательным тождествам — уравнениям (201) и
(202). Помимо этих тождеств, у нас есть еще уравнения (187) и
(189), которые можно рассматривать как уравнения для определения (/*2 — F2\) и р2(^4 — Ft) через остальные величины.
90. Четыре линеаризованных тождества Риччи
