Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 63

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 126 >> Следующая


Действуя теперь операторами дв и Д1/2 дг Д~1/2 на выражения в левых частях соответственно уравнений (159) и (160) и проводя те же самые замены производных на комбинации функций, находим после громоздких преобразований и ряда сокращений

-йтЬх [а 1(0+г‘> (S« - cos 6+

+ (Аа/а) (Ха? - 6а2) (S+2 + S_,)} Y + {- (D - Г,) (S+2 + S_2) +

-f Aaa1K (S+2 - S_2) cos 9} rX}, (162)

Л</2 d 2a d'V dr A dQ

= (1/48 /2 MA) [a [[(Wi + Г2) + 4Xar] X + (W1 + T1) Y) X

X (S+2 - S_2) cos Є + {- (W1 - T1) rX + [г (W2 + Г2) +

+ 4a (Xa2 - 6a2)] 7} (S+2 + S_2)]. (163)

Сравнение выражений в правых частях уравнений (162) и (163) показывает, что их равенство требует только лишь (!), чтобы

V1 = Dj V2 = - Г2 = - 12а М. (164)

Это замечательно простой результат после столь долгого и утомительного пути.

Определим теперь функции

9>+ = [ (S+2 + s_2) de, 9>_ = [ (S+2 + S_2) cos 0 dO,

r г (165)

= Д1/2 j (rX/A3/2) dr, = A'/2 J (У/ДЗ/2) dr.

Интеграл уравнений (162) и (163) через введенные функции можно записать в следующем виде:

1F = (1/96/2 M) [(W1 + T1) Я_9>_ + (40/a) (Xa1 - 6а2) +

+ 4ХаШ+9>_ - (1/а) (W1 - T1) $+^+]. (166)
184

Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры

Напомним, что

ЦТ = к (/ _ Я) COS 6 — irQ (F + G) sin Є. (167)

Уравнение (166) представляет собой решение условия интегрируемости уравнений (145) и (146). При выводе этого решения мы попутно решили задачу определения действительной и мнимой частей постоянной Старобинского и задачу определения относительной нормировки радиальных функций Тьюкольского.

В заключение параграфа отметим, что определение функции (167) позволяет записать уравнения (131) и (132) в альтернативной форме

О / у I TJ \ д О / - H I

+ +Т’

. ,F-G д 2F + G /1fiQ4

jP - = ~W P ----------------К*-* (168)

88. Разделение переменных в функциях T и Й и ?

Замечательным фактом является возможность разделения переменных в функции W и явное вычисление интегралов, через которые выражается эта функция.

Заметим прежде всего, что конечность функции W в пределе а -> О требует, чтобы равнялась положительному квадратному корню из D2 (ср. с уравнениями (61) и (164)), потому что только тогда — T1 -> О при а 0. Фактически мы имеем тождество

W2 - T2 = - I6<Л (Ka2 - 6а2). (169)

Следовательно, можно написать

(1/а) (V1 - Г,) - (V21 - Г?)/а (V1 + Г,) =

= - 16а2Х (Xa2 - 6а2)/а (V1 + T1). (170)

С помощью вышеприведенных соотношений запишем решение (166) для функции "1F в виде

Y = (1/96 /2 М) [[(V1 + T1) 9L_ -Ь 4Ха<%+] 9>_ +

+ (40/а) (Xa2 - 6а2) \Я_ + AXaMjiV1 + T1)] 9’+}, (171)

или иначе

W = [(V1 + Гх)/96 /2 М] [SL-_ + AXoMJiV1 + Y1)] X

X [9>_ + 4а (Xa2 - 6а2) 9> Ja (V1 + Tx)]. (172)

Возможность разделения переменных теперь очевидна:

W = [(V1 + Г0/96Л1 /2] M (г) 9 (0), (173)

где

Я (Г) = &_ + [4XaKV1 + T1)] <%+>

g> (0) = 9>_ + [4а (Xa2 - ^a2)/(V1 -J- T1)] 9>+. ( ]
88. Разделение переменных

185

Из определений функций $, w SP следует, что

Л1,!т^ = -Н1' + »г?г;'*)- <175>

= [SI-cose + IS]*. (176)

а. Запись функций RuP через функции Тьюкольского. Из уравнений (158), (173) и (176) следует, что

2а + <% {[S]- cos 0 + 4t7^2Tp? IsI+I =

39 48^2 M Г ~ 1 1 )

= -^Ym t{r* _ 2 {г2° + К) 1®Р]~ + 6то [РГ] [S]+ ~

- ia \к [2>2>Р]* - 2ra [SDP]+) [5]~ cos 0]. (177)

Приравнивая коэффициенты при [S ]~ cos 0 и [S ]+ в двух выражениях в правой части этого уравнения, получаем два альтернативных выражения для функции Ж

V4 (V1 + ГО Я = K [Ф?)РУ - 2га [2>Р]+, (178)

а (Xa2 - 6а2) 9t = i{rK [3>3>P\~ - 2 (r2a + К) [&>Р]~ + 6га [/>]"}.

(179)

Из сравнения уравнений (158) и (160) теперь можно получить явные выражения для правых частей уравнений (178) и (179) через функции X и Y:

V4 (V1 + T1) Я = (VB1) l{2K2 (V1 + T1) +

+ Skor [К (г — М) — or А] — 8XaK А} X +

+ {—SK2Xar + 2 (V1 + T1) [К (г — M)- or А]) К], (180)

a (Xa2 — 6а2) 91 = (IAB1) [[{— 8/С2сг (Ш + Xr) —

— 2 [К (г — М) — or AI (V1 — T1)) гХ +

+ {2K2 (V1 - T1) — 8а (6M + Xr) [К (г — М) — or А ] +

+ 8Л.0Г/СА} rY + 2К (AV1 — A1) X —

- 2 WaB1 + К (AV2 + A2) ] У]. (181) Из уравнений (173), (175) и (157) далее следует

2аДі/2 ^-----V_ = a (Vyjr T1) ^ / у 4Ы =

А1/2 48 ]Л2МД V + Ti У

= - (1/12 /2 /ИA) [(Q [^S7Sr - (2аа cos 0) [S’S]-} rX +

-f а (Q [SBZSXr cos 0 -(- 2 (Q sin 0 — aa cos2 0) [SS]* —

— баа (sin 0 cos 0) [S]+) V]. (182)
186

Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры

Приравнивая коэффициенты при функциях гХ и Y в двух выражениях в правой части, находим следующие альтернативные выражения для функции 9*:

- \ао9> = Q [SgSX - 2аа [ZS]~ cos 0, (183)

— V4 (V1 + T1) 9 = Q [2?ZS]* cos 0 +

-f 2 (Q sin 0 — aa cos2 0) [ZS]+ — 6aa [S]+ sin 0 cos 0. (184)

Из сравнения уравнений (157) и (159) можем теперь получить явные выражения для правых частей уравнений (183) и (184) через функции [S]+ и [S]~

— lKaaP = (I /P1) [{2 (Q ctg 0 — аа cos 0) (V1 — T1) -f-+ 8aaXQ2 cos 0} [S ]+ + { — 2Q2 (V1 — T1) —

Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed