Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Действуя теперь операторами дв и Д1/2 дг Д~1/2 на выражения в левых частях соответственно уравнений (159) и (160) и проводя те же самые замены производных на комбинации функций, находим после громоздких преобразований и ряда сокращений
-йтЬх [а 1(0+г‘> (S« - cos 6+
+ (Аа/а) (Ха? - 6а2) (S+2 + S_,)} Y + {- (D - Г,) (S+2 + S_2) +
-f Aaa1K (S+2 - S_2) cos 9} rX}, (162)
Л</2 d 2a d'V dr A dQ
= (1/48 /2 MA) [a [[(Wi + Г2) + 4Xar] X + (W1 + T1) Y) X
X (S+2 - S_2) cos Є + {- (W1 - T1) rX + [г (W2 + Г2) +
+ 4a (Xa2 - 6a2)] 7} (S+2 + S_2)]. (163)
Сравнение выражений в правых частях уравнений (162) и (163) показывает, что их равенство требует только лишь (!), чтобы
V1 = Dj V2 = - Г2 = - 12а М. (164)
Это замечательно простой результат после столь долгого и утомительного пути.
Определим теперь функции
9>+ = [ (S+2 + s_2) de, 9>_ = [ (S+2 + S_2) cos 0 dO,
r г (165)
= Д1/2 j (rX/A3/2) dr, = A'/2 J (У/ДЗ/2) dr.
Интеграл уравнений (162) и (163) через введенные функции можно записать в следующем виде:
1F = (1/96/2 M) [(W1 + T1) Я_9>_ + (40/a) (Xa1 - 6а2) +
+ 4ХаШ+9>_ - (1/а) (W1 - T1) $+^+]. (166)
184
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Напомним, что
ЦТ = к (/ _ Я) COS 6 — irQ (F + G) sin Є. (167)
Уравнение (166) представляет собой решение условия интегрируемости уравнений (145) и (146). При выводе этого решения мы попутно решили задачу определения действительной и мнимой частей постоянной Старобинского и задачу определения относительной нормировки радиальных функций Тьюкольского.
В заключение параграфа отметим, что определение функции (167) позволяет записать уравнения (131) и (132) в альтернативной форме
О / у I TJ \ д О / - H I
+ +Т’
. ,F-G д 2F + G /1fiQ4
jP - = ~W P ----------------К*-* (168)
88. Разделение переменных в функциях T и Й и ?
Замечательным фактом является возможность разделения переменных в функции W и явное вычисление интегралов, через которые выражается эта функция.
Заметим прежде всего, что конечность функции W в пределе а -> О требует, чтобы равнялась положительному квадратному корню из D2 (ср. с уравнениями (61) и (164)), потому что только тогда — T1 -> О при а 0. Фактически мы имеем тождество
W2 - T2 = - I6<Л (Ka2 - 6а2). (169)
Следовательно, можно написать
(1/а) (V1 - Г,) - (V21 - Г?)/а (V1 + Г,) =
= - 16а2Х (Xa2 - 6а2)/а (V1 + T1). (170)
С помощью вышеприведенных соотношений запишем решение (166) для функции "1F в виде
Y = (1/96 /2 М) [[(V1 + T1) 9L_ -Ь 4Ха<%+] 9>_ +
+ (40/а) (Xa2 - 6а2) \Я_ + AXaMjiV1 + T1)] 9’+}, (171)
или иначе
W = [(V1 + Гх)/96 /2 М] [SL-_ + AXoMJiV1 + Y1)] X
X [9>_ + 4а (Xa2 - 6а2) 9> Ja (V1 + Tx)]. (172)
Возможность разделения переменных теперь очевидна:
W = [(V1 + Г0/96Л1 /2] M (г) 9 (0), (173)
где
Я (Г) = &_ + [4XaKV1 + T1)] <%+>
g> (0) = 9>_ + [4а (Xa2 - ^a2)/(V1 -J- T1)] 9>+. ( ]
88. Разделение переменных
185
Из определений функций $, w SP следует, что
Л1,!т^ = -Н1' + »г?г;'*)- <175>
= [SI-cose + IS]*. (176)
а. Запись функций RuP через функции Тьюкольского. Из уравнений (158), (173) и (176) следует, что
2а + <% {[S]- cos 0 + 4t7^2Tp? IsI+I =
39 48^2 M Г ~ 1 1 )
= -^Ym t{r* _ 2 {г2° + К) 1®Р]~ + 6то [РГ] [S]+ ~
- ia \к [2>2>Р]* - 2ra [SDP]+) [5]~ cos 0]. (177)
Приравнивая коэффициенты при [S ]~ cos 0 и [S ]+ в двух выражениях в правой части этого уравнения, получаем два альтернативных выражения для функции Ж
V4 (V1 + ГО Я = K [Ф?)РУ - 2га [2>Р]+, (178)
а (Xa2 - 6а2) 9t = i{rK [3>3>P\~ - 2 (r2a + К) [&>Р]~ + 6га [/>]"}.
(179)
Из сравнения уравнений (158) и (160) теперь можно получить явные выражения для правых частей уравнений (178) и (179) через функции X и Y:
V4 (V1 + T1) Я = (VB1) l{2K2 (V1 + T1) +
+ Skor [К (г — М) — or А] — 8XaK А} X +
+ {—SK2Xar + 2 (V1 + T1) [К (г — M)- or А]) К], (180)
a (Xa2 — 6а2) 91 = (IAB1) [[{— 8/С2сг (Ш + Xr) —
— 2 [К (г — М) — or AI (V1 — T1)) гХ +
+ {2K2 (V1 - T1) — 8а (6M + Xr) [К (г — М) — or А ] +
+ 8Л.0Г/СА} rY + 2К (AV1 — A1) X —
- 2 WaB1 + К (AV2 + A2) ] У]. (181) Из уравнений (173), (175) и (157) далее следует
2аДі/2 ^-----V_ = a (Vyjr T1) ^ / у 4Ы =
А1/2 48 ]Л2МД V + Ti У
= - (1/12 /2 /ИA) [(Q [^S7Sr - (2аа cos 0) [S’S]-} rX +
-f а (Q [SBZSXr cos 0 -(- 2 (Q sin 0 — aa cos2 0) [SS]* —
— баа (sin 0 cos 0) [S]+) V]. (182)
186
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Приравнивая коэффициенты при функциях гХ и Y в двух выражениях в правой части, находим следующие альтернативные выражения для функции 9*:
- \ао9> = Q [SgSX - 2аа [ZS]~ cos 0, (183)
— V4 (V1 + T1) 9 = Q [2?ZS]* cos 0 +
-f 2 (Q sin 0 — aa cos2 0) [ZS]+ — 6aa [S]+ sin 0 cos 0. (184)
Из сравнения уравнений (157) и (159) можем теперь получить явные выражения для правых частей уравнений (183) и (184) через функции [S]+ и [S]~
— lKaaP = (I /P1) [{2 (Q ctg 0 — аа cos 0) (V1 — T1) -f-+ 8aaXQ2 cos 0} [S ]+ + { — 2Q2 (V1 — T1) —