Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 62

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 126 >> Следующая

180

Глава 9. Гравитационпые возмущения черной дыры

теля на каждом шаге вычислений очевидно, но он нарушит симметрию последующих формул.

Предположим поэтому, что решения для W0 и T4 даются формулами (148) и что P+2 = Л2і?+2 и P-2 = R-2 в согласии с (41) и (42) и удовлетворяют (74). Полагая (ср. с уравнениями (80))

X - Р+2 + P_2 - [Р ]+, iY = P +2 - P-2 - [Р ]", (149)

перепишем уравнения (74) в более удобной для последующего анализа форме

= (AW2 -A2)X + (AW1 + At- B1KlA) Y, (150)

B1-^r = (AW1 -A1 + B1KIA) X- (AW2 + A2) Y, (151)

где величины A1, A2 и B1 имеют тот же смысл, что и в уравнениях (76).

При введении дополнительного множителя 1/4 в решение для T4 решения для спиновых коэффициентов X, СГ, % И V принимают следующий вид:

1 • (Р*)2P+z ( S2 - 3^-sIn9 ) S+2,

6М Д2

I 1 (р*)2

6М А I 1

(152)

6M ~2р*~ 5-2 (^° (Tr) Р-2’

I 1 V 2 D / а?+ Зш sin 0 N с

v = * -PT IF"р-2 ------F-)s-2-

Вернемся к уравнениям (145) и (146) и подставим вышеприведенные решения для х, а, X и v в их правые части. После громоздких преобразований с использованием уравнений (87) и (88) находим

I Q ( _ г /а і с о q Qia2G sin 0 cos 0

•{—р

/ а і с* п Qia2G sin 0 cos 0 \ 0

^X + 6aacos0--------------^---------) S+2

12 M Y 2 д у

+ 2 (ctg 0 + Q — ia sin 0/р* — ао cos 0/Q) S2S+2 Р+2 +

4- р [— (X — 6aa cos 0 + 6/a2cr sin 0 cos 0/Qp) S_2 +

+ 2 (ctg 0 — Q -f- ia sin 0/p — aa cos 0/Q) S\S-2] P+2 + + p* [— (Я. — 6aa cos 0 — 6ia2a sin 0 cos 0/Qp*) S_2 +

+ 2 (ctg 0 — Q — ia sin 0/p* — aa cos 0/Q) S\5_2] P-2 —
87. Решение условия интегрируемости

181

— р [— (X + 6ао cos 0 + ^ia2O sin 0 cos 0/Qp) S+2 -f--f 2 (ctg 0 -f- Q + Iа sin 0/р — аа cos 0/Q) Z2S+2] Р_2! =

= Ia A‘/2d (WlA112)Idr, (153)

'І21/2M' ~Т- {^* [ (Х + &0Г + -?^) +

+ 2 (г - Af - ІК - га А/К - Д/р‘) <?>0+Р+2] 5+2 +

+ р [(X + Ыаг + 6га AlKp) Р+2 +

+ 2 (г-M-ІК- га А/К - Д/р) 2>Ъ Р+2] S_2 -

— р* [(А, — Ыаг -|- б га Д/ЛГр*) Р_2 +

+ 2 (г - Af + ІК - га А/К - Д/Р*) P-*] 5_2 -

— р [(А- — Ыаг + б га AlKp) Р_2 +

+ 2 (г - M + ІК - га А/К - Д/р) 0оР-2] S+2\ = 2adW/dQ.

(154)

Дальнейшее преобразование этих выражений приводит к уравнениям

(1/12 /2/И Д) [ш [[QZ1StS+* -

- (2acrcos0) 3?2S+i\ cos0 — 2 [(3aacos0) S+2 — QZ2Si2] sin 0 +

+ [QZiZtS-2 — (2aa cos 0) Z%S_2] cos 0 —

- 2[(3ao cos 0) 5-2 - QZtS^] sin 0) (P+2 - P_2) -

- [[QZxZ 2S+2 — (2aacos0) Z2S+2l —

- [QZlZtS-2 - (2aa cos 0) ^2+5_2]l r (P+2 + P_2)] =

= 2a AV2O(WlAV2)Idr, (155)

(//12 /2Al) {[r (K®o®oP+2 - 2ra?)tP+2) +

+ 2 (3mP+2 - №tP+i) - г (К®0®0Р-2 - 2ro?>0P-2) -

- 2 (3raP_2 - K&0P-2)) (S+2 + S_2) -

- і a [{mt®t P+2 - 2ro®tP+2) +

+ (K2>0?>oP-2 - 2ra0„P_2)] (S+2 - S_2) cos 0} = 2ad47<30. (156)
182

Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры

В сокращенной «скобочной» записи (§ 81, б) эти уравнения принимают вид

+ a\Q [JZ^S]+CosB + 2(Q sin0 — да cos2 0) [S’S]+ —

— 6aa (sin 0cos 0) [S]+J У], (157)

2aIfr “ wknl{rK [S>3)Pr -2 <r% + K) [®Pr +

+ 6ro [PD [S]+ - ia {K [00P]+ - 2ro [0P]+] [S]“ cos 0]. (158)

Теперь мы должны потребовать, чтобы результат действия оператора дв на выражение в левой части уравнения (155) совпадал с результатом действия оператора Д1/2дгД~1/2 на выражение в левой части уравнения (156). На первый взгляд непонятно, как действовать дальше, поскольку приравниваемые выражения содержат производные от радиальных и угловых функций вплоть до третьего порядка, а функции определяются только уравнениями Тьюкольского. Однако вскоре становится понятно, что требуемое условие может быть получено, только если на каждом этапе производные от функций Р±2 (г) и S±2 (0) заменять подходящими комбинациями функций, используя при этом уравнения (79), (150) и (151). В результате таких замен получаем из уравнений (155) и (156)

— (1/12М Ap1 /2) [{2 (Q ctg 0 — ао cos 0) (D — T1) +

+ 8aoXQ2 cos 0}(S+2 + S_2) +

+ {— 2Q2 (D — T1) — 8aoX (Q cosec 0 — ao cos 20)} (S+2 — S_2)l rX —

— (al\2M Ap1 /2) |{2Q2 (D + T1) — 8aoX (Q cosec 0 —

— ao cos2 0)} (S+2 + S_2) cos 0 + {— 2 (Q ctg 0 — ao cos 0) (D + T1) + + 8aoXQ2 cos 0} (S+2 — S_2) cos 0 — 2 {[(3atf cos 0) P1 +

-)- oc2Q ] (S+2 -(- S_2) -(- Q ((X1 -)- D) (S+2 S_2)j sin 0]j Y =

= 2a A1/2d (WIA12)Idr, (159) [MXlMB1 /2) [{2K2 (W2 — T2 — 4Xor) —

— 2IK (r — M) — or A ] (W1 — T1)) rX +

+ {2K2 (W1 — T1) + 2 {K (r — M) — or A ] (W2 -T2- AXor) +

+ 8XoK Aj rY +

+ 2K (AW1 — A1) X — 2 [SroB1 + K (AW2 + A2) ] Y] X

X (s+2 +S_2) +UmMB1-ZMw2 (W1 +T1) +

+ 2 \K (r ~ M) — or A] (W2 + T2 + 4Xor) — ЪХоК A) X +
87. Решение условия интегрируемости

183

+ { — 2K2 (W2 + Г2 + 4Хаг) +2 IK (г — М) — or А] X

X (W1 + T1)) Yj (S+2 — S_2) cos 0 = 2адУ/дв. (160)

Напомним, что (ср. с уравнениями (43), (71) и (75))

V = V1 + /V2, T1 = X (X + 2) — 12ст2а2, Г2 = 12аМ,

D2 = X2 (X + 2)2 — 8ст2Я [а2 (5Х + 6) — 12а2] + 144а4а4,

IVI2 = D2 + 144а2M2f а2 = а2 +ат/а, (161)

а остальные величины A1, A2, B1, а±, а2 и P1 имеют тот же смысл, что и в уравнениях (76) и (78). Отметим, также, что преобразования, которые привели к уравнениям (159) и (160), были выполнены с помощью уравнений (47), (48), (64) и (65) (и с помощью комплексносопряженных и присоединенных уравнений).
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed