Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= [4/(X + Y)2] (АХ, 2Г, 2 - 6Х, 3Г, 3) -
— 3 l(r — Mf — А 1/А + ([X2 + 6)/б. (60)
Теперь очевидно, что если решены уравнения (57) и (58) для функций X и Y, решение для ([X2 + (X3) получается из уравнений (59) и (60) в квадратурах.
Уравнения (57)—(60) могут быть записаны в более симметричном виде, если вместо г ввести новую переменную
Т) =(/• — М)/(М2 — а2)'/2, А = (M2 — а2) (Tl2 — 1). (61)
Имеем
V2 (X + У) (Kti2-I) X1J111 + 1(1 -[X2) XillJiltJ =
= (tI2 — I) (X, „)2 + (I — [X2) (X, ц)2; (62)
V2 (X + У) {[(T12 - I) У, „], „ + [(I - [X2) Yt Д „} =
= (tI2-IИГ,,)8 + (1 — [а2) (У, ц)2, (63)
1 |ц2 (Из + Щ), г) H і (М-э + Иг), ц =
= [2/(X + Г)2] (X, „К, й + У, цХ, „), (64)
53. Выбор калибровки и приведение уравнений
13
2л (|х3 + М'г), л + (JX3 -f- М'г), ц ~
= [4/(Х + Yf] Kr12 - I) X, ,Г, „ -
- (I - (х2) X1 цVr1 J — 3/(rj2 - 1) + 1/(1 - ц2). (65)
Преобразования
X = (I + F)/(I -F), Y = (1+ G)/(I - G) (66)
позволяют привести уравнения (62) и (63) к удобному виду (I - FG) {[(T12 - I) F1 J1 „ + [(1 - И2) F, J1,) =
= -2G [(T12 - I) (F, J2 + (1 - р2) (F, ,)2 ], (67)
(I - FG) { Kr12 - I) G1 J1 „ + [(1 - н2) G1 J1 „} =
= —2F [(T12 - I) (G1 n)2 + (I - Ji2) (G1 й)2]. (68)
Метрические функции % и о) связаны с функциями FhG сле-
дующим образом:
х = (I _ FG)/(I -F)(l- G),
со = (F — G)/(l — F) (I — G). (69)
Теперь нетрудно усмотреть, что уравнения (67) и (68) допускают простое решение
F = — ;?п — фг|, G = —рц + <7|х, (70)
где р и q — действительные постоянные, подчиняющиеся условию
P2 — <72 = 1. (70')
а. Некоторые свойства уравнений для XuY. Пусть (X, Y) — решение уравнений (62) и (63). Тогда
1. (Y1 X) также есть решение. При этом % остается неизменным, а со меняет знак — тривиальное изменение, эквивалентное замене ф —ф.
2. (X + с, Y — с), где с — произвольная постоянная, также является решением. В этом случае % снова остается неизменным, в то время как со -> со -\~2с — снова тривиальное изменение, соответствующее преобразованию ф -*¦ ф — 2d.
3. (X"1, Y~x) и (F-1, X-1) также представляют решения. Этот факт следует из инвариантности уравнений (67) и (68) относительно одновременного изменения знаков функций FhG (что соответствует замене X и Y обратными величинами X-1 и Y"1). Новые решения имеют важное значение. Чтобы убедиться в этом, выразим метрические коэффициенты, соответствующие новым решениям (обозначим их % и <5) через метрические коэффициенты % и со, соответствующие старым решениям:
2y-/—L4- ±.\-Х + г_ 2х
k X ) XY ~ X2 — о2 ’
O- Z1 1 \ X-F і 2<в
\Y х)~ XY ~ X2-W2 ' ^ )
14
Глава 6. Метрика Keppa
Сравнение с уравнением (25) показывает, что решения, полученные из (Х~\ F"1), являются сопряженными к решениям, полученным из (X, Y). Таким образом, преобразование (X, Y) -> -> (X-1, F'1) эквивалентно сопряжению.
4. Комбинируя результаты п. 1—3, получаем, что если (X, Y) есть решение, то решением является и комбинация
[X/(l +сХ), YI(I-CY)),
где с — произвольная постоянная. Ho в результате мы не получаем никаких действительно новых решений, помимо сопряжения.
б. Альтернативные формы уравнений. Вернемся к уравнениям (7), (12) и (13). В выбранной нами калибровке и при выбранном решении для exp (P) эти уравнения принимают следующий вид:
-0, (72)
\ Sin 0 / , Г ' \ Л Sin 0 / , е ’ v 7
[(A sin 0) V,r], r + [(sin 0) V1 е], е = + (е4ф/2Д sin 0) [А (со, г)2 + (со, е)2],
(73)
[(A sin 0) і|)іГ]іГ -|- [(sin 0) Xfi9], є = — (е^/2Д sin 0) [А (со, rf + (со, 0)2].
(74)
Из уравнения (72) следует, что решение для со может быть получено, если известен вид «потенциала» Y. Действительно, если
е4^со, r/sin Q = YjQi е4^со, 0/А sin 0 = — Yi г, (75)
следовательно,
со, г = -\-e~AW} е sin 0, со, 0 = —e~AW% г A sin 0. (76)
Условие интегрируемости последнего уравнения имеет вид
(е-^ AYi Т\ r + (1/sin 0) (e-W, 0 sin 0), 0 - 0, (77)
поэтому уравнение (74) можно следующим образом переписать
через Y:
(Аф, Д r + (1/sin 0) (г|) 0 sin 0), 0 = -V2^ [(Yi 0)2 + A (Yi г)2]. (78)
Полагая теперь
X - (79)
и возвращаясь к переменным т] и fx, получаем уравнения Ki12 - 1)х, Ч/Х], ч + [(I - ^2)х, ,/X],=
= -(1/Х2) [(T12 - 1) (Г„)2 + (I - ^2) (Г, ,)2], (80)
_____________[(л2 - I) ,/X2U+ [(I - и2) FiltZX2U = O. (81)*
* Поскольку нам не придется использовать одновременно уравнения (62) и (63) и уравнения (80) и (81), одни и те же обозначения XnY для разных величин не должны вызывать недоразумений.
53. Выбор калибровки и приведение уравнений
15
Поведение решений уравнений (80) и (81) при ц ->оо, совместимое с требованием, чтобы пространство-время было асимптотически плоским, может быть найдено следующим образом.
Сейчас для наших целей достаточно знать, что требование, чтобы пространство-время было асимптотически плоским, приводит к следующему асимптотическому поведению метрических коэффициентов:
e2v I — 2M*/r + О (г2), со->2J/r3 + 0(rA) при /*-> оо, (82)
где M * (не обязательно равное M в определении А — см. сноску на с. 11)—масса, a J — момент количества движения источника. Легко видеть, что выписанные асимптотики совместны с уравнением (73) и, как будет показано ниже, они также совместны с уравнениями (80) и (81).
