Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
65. Процесс Пенроуза
99
наиболее выгодных условиях, т. е. при значениях ^00 = —1 и Е_ = 0, неравенство (349) дает
м> [(1 +-f)’/2- l] /3=2-1/ 3, (350)
а соответствующее неравенство для \w\ имеет вид
Hs*-г’ ^351*
в полном согласии с результатом (333), полученным из неравенства Уолда.
Основной вывод, следующий из неравенств Уолда и Бардина — Пресса — Тьюкольского, таков: чтобы извлечь значительную энергию посредством процесса Пенроуза, нужно сначала разогнать осколки частицы до скоростей, превышающих половину скорости света, под действием гидродинамических или каких-либо других сил. Конкретный пример, рассмотренный в п. 65, а, подтверждает это заключение.
г. Обратимое извлечение энергии. Вернемся к неравенству (319), полученному в п. 65, а. Это неравенство превращается в равенство, только если рассматриваемый процесс происходит на горизонте событий. В общем случае выигрыш в энергии ЬМ (= E) и выигрыш в моменте количества движения 6/ (=Lz) подчиняются неравенству (частица, пересекающая горизонт, имеет отрицательную энергию —E и момент количества движения —L2):
2r+M8M ^ abJ. (352)
Если предположить, что процесс происходит «адиабатически», так что черная дыра снова описывается метрикой Керра, но с другими параметрами, то
6J = 6 (аМ) = Mba + а8Му (353)
и неравенство (352) дает
(2Мг+ - а2) ЬМ = г\ЬМ ^ МаЬа. (354)
По определению неприводимой массы Mu (формула (314)) имеем
M2г = Mr+I2 = M [М + (TH2 - а2)1/2]/2. (355)
Следовательно,
SMfr = (г\ьм - MaSa)/2 (M2 - а2)у2. (356)
Таким образом, неравенство (354) эквивалентно ограничению
8МЬ^0. (357)
Другими словами, не существует непрерывного процесса, который приводил бы к уменьшению неприводимой массы черной дыры, —
4*
100
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
этот результат оправдывает термин «неприводимая масса». Поскольку площадь поверхности горизонта событий пропорциональна квадрату неприводимой массы (ср. с уравнением (278) гл. 6):
Площадь поверхности = 4п (г\ + а2) = 16пМ\Т, (358)
полученный результат можно сформулировать иначе: не существует непрерывного процесса, который приводил бы к уменьшению площади поверхности черной дыры. Более общее утверждение, что никакими взаимодействиями между черными дырами нельзя уменьшить сумму площадей их поверхностей, называется теоремой Хокинга. Наше рассмотрение применимо, однако, только к бесконечно малым процессам, в которых участвует только одна черная дыра Керра.
Поскольку самое большее, чего мы можем достичь, это сохранить неприводимую массу неизменной, процессы, в которых неприводимая масса остается постоянной, называются обратимыми. Можно также отметить, что из определения (355) следует соотношение
M2 = М\г + Пт\х. (359)
Поскольку Mfr не может уменьшаться, можно интерпретировать второй член J2HM2r как вклад кинетической энергии вращения в квадрат инертной массы черной дыры. Посредством процесса Пенроуза извлекается из черной дыры именно эта энергия вращения.
- Еще один результат, имеющий общий интерес, следует из рассмотрения действия процесса Пенроуза на экстремальную черную дыру, для которой a = M и r+ = М. В этом случае неравенство (354) дает
М8М ^ аба, или б (M2 — а2) ^ 0. (360)
Другими словами, черная дыра при этом перемещается вниз по последовательности решений Керра к меньшим значениям а2/М2 и перестает быть экстремальной. Таким образом, голая сингулярность (решение с а2 > M2) не может быть создана бесконечно малыми процессами типа рассмотренных выше. Остается открытым вопрос, можно ли получить голую сингулярность с помощью нелинейного «взрывного» процесса. Предположение о том, что голая сингулярность не может быть создана в пространстве-времени, в котором первоначально не было голых сингулярностей, составляет содержание гипотезы космической цензуры, высказанной Пенроузом.
66. Геодезические в пространстве-времени Керра с а2 > M2
Поскольку мы интересуемся в основном черными дырами, мы ограничились изучением метрик Керра с а2 < M2y так как только такое пространство-время обладает горизонтом событий и опи-
66. Геодезические с а2 > M2
101
сывает черную дыру. Если а2 >М2У то горизонты исчезают и остается только кольцевая сингулярность. Фактически остается только голая сингулярность. Считается, что голые сингулярности в природе не существуют: гипотеза космической цензуры запрещает их появление в результате обычных процессов. Тем не менее чрезвычайно интересно знать, что собой представляет пространство-время с голыми сингулярностями и имеются ли существенные различия в том, как проявляются многообразия с голыми сингулярностями и многообразия с сингулярностями, спрятанными под горизонтами событий. Сравнительное изучение геодезических в пространстве-времени Керра с а2 < M2 и в пространстве-времени Керра с а2 > M2, возможно, позволит понять, каковы могут быть эти различия.
а. Изотропные геодезические. Заметим прежде всего, что существенные особенности изотропных геодезических зависят от того, выполнено неравенство а2 < M2 или неравенство а2 > M2. Действительно, в п. 61, а было показано, что в случае а2 < M2 изотропные геодезические в экваториальной плоскости имеют различное поведение в зависимости от того, больше или меньше их прицельный параметр некоторого критического значения Df (верхний знак относится к обратным орбитам, а нижний — к прямым орбитам): орбиты, начинающиеся на бесконечности и имеющие прицельный параметр D после прохождения пери-
