Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
По аналогии с процессом, рассмотренным в предыдущем разделе, предположим, что частица, имеющая 4-скорость Ui и удельную энергию Ef распадается. Пусть є — удельная энергия, а Ui — 4-вектор скорости одного из фрагментов. Будем искать пределы на величину є.
Выберем ортонормированную тетрадную систему е\а)У в которой вектор Ui совпадает с вектором тетрады е[0)У а остальные (пространственноподобные) базисные векторы обозначим е\а) (а = = 1,2, 3), т. е.
в(0) = Ui и е\а) (а = 1, 2, 3). (320)
В этой системе имеем
Ui = У (Ui +V^eim), (321)
где v(a> — пространственные компоненты 3-вектора скорости фрагмента; кроме того,
у = (I — IV |2)-1/2, IVI2 = V^Via)- (322)
Предположим теперь, что пространство-время допускает вре-мениподобный вектор Киллинга ? = д/дх°у и пусть его представление в выбранной нами тетраде имеет следующий вид:
Si = I(O)Uc + lia)e(ta), Iі = l(0) U1 + ?(а)4) • (323)
Отсюда следует, что
E = IiW = !(о, = I1U1 = ?«», (324)
goo = IiIi = ifo,~l(a)?(a) =^2-Ilf. (325)
Получаем, таким образом, соотношение
1112 = ?«*)?<“> =E2-goo. (326)
Из представления (321) 4-скорости фрагмента имеем
е = IiUi = у (g(0) + f(a)?<«)) = У (Е + I у 1111 cos #), (327)
где О — угол между Трехмерными векторами и<“> И 1(a). С помощью
соотношения (326) уравнение (327) можно переписать следующим образом:
8 = уЕ + YIVI (E2 — goо)1/2 cos ft. (328)
Из этого соотношения сразу же следует неравенство Уолда уЕ — у IV j (E2 — goo)1/2 < є < + у I и I (?2 - g0Qy/2. (329)
65. Процесс Ненроу5й
9?
В геометрии Керра внутри эргосферы
?оо = 1 - 2Мг/р2 < 0, (330)
причем нижний предел равен —1 и достигается на горизонте событий при a = M и 0 = я/2. Следовательно, в геометрии Керра всегда выполняется неравенство
уЕ — yM.(E2 + 1)1/2 < г < уЕ + у \v\ (E2 + I)1/2. (331)
Мы видели, что максимальная энергия, которую может иметь частица, двигающаяся по устойчивой круговой орбите, равна (см. уравнение (146))
?max ^ З-*/*. (332)
Следовательно, чтобы величина є была отрицательна, необходимо, чтобы
M >?/(?2+ I)1/2 = 1/2. (333)
Другими словами, прежде чем какое-либо извлечение энергии посредством процесса Пенроуза станет возможным, частица должна приобрести релятивистскую энергию.
Интересно сравнить неравенство (331) с неравенством, которое получилось бы в рамках специальной теории относительности при, отсутствии преимуществ, которые дает эргосфера:
уЕ — у\VI (E2 — I)1/2 < є < уЕ + Ylv I (?2 — 1)1/2- (334)
Отсюда ясно, что эргосфера не дает слишком больших преимуществ по сравнению с обычными процессами, описываемыми специальной теорией относительности.
в. Неравенство Бардина — Пресса — Tьюкольского. Предположим теперь, что две частицы с удельными энергиями Е+ и двигаясь каждая по своей орбите, сталкиваются в некоторой точке. Каков нижний предел на величину относительной трехмерной скорости I до I этих частиц?
Выберем такую ортонормированную тетраду
e\o) = Ul, е(а) (а= 1, 2, 3), (335)
в которой трехмерные скорости частиц в точке пересечения орбит равны по величине и противоположны по знаку, так что
\w\ = 2\v\/(l+\v I2), M2 = 0(ОЧ*>- (336)
Для 4-скоростей ul и ul двух частиц в момент столкновения получаем в выбранной системе отсчета следующее представление:
«+ = V (Ui + vwe\a)), uL = Y (Ui - t>(ev(a)), (337)
где
Y — (I — M2)-1/2. (338)
4 Чандрасекар С, т. 2
98
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Предположим теперь, что пространство-время допускает вре-мениподобный вектор Киллинга Ii (= д/дх0), имеющий следующее представление в выбранной тетрадной системе:
Iі = ImUi + %{а)е\а), + (|<0)=1(0)). (339)
Тогда по определению
goo = 1%І = І<0)і(0) - lwia) = - IІ I2, (340)
так что
11P = Ifr)-goo- (341)
Удельные энергии двух частиц в момент столкновения равны ?+ = IiU1+ = V (1(0) + f <а)!(а)) = Y (1(0) + I 011 Il COS #),
E.. = ItuL = V (1(0) - ^(а)|(а)) = V (1,0) - 11» 1111COS 0), (342)
где Ф — угол между 3-векторами |(а> И У(а). Из предыдущих уравнений следует, что
Yl(O) = (Е+ + ?-)/2, YIV1111 cos д = (Е+ — EJ)/2. (343)
Отсюда получаем соотношение
(?+ — /Г-)2 = 4y2 і VI21112 cos2 О =I и |2 (4у2|<0) — 4у2?оо] cos2 ft =
= Iv I2ICe+ + E.f — 4V2SToo] cos2 ft, (344)
при выводе которого использованы соотношения (341) и (343). Из уравнения (344) следует очевидное неравенство
(?+ - E_f < I у I2 [(?+ + ?_)2 - 4Y^ool- (345)
Вспоминая определение Y (формула (322)), перепишем его в виде
IVP[(?+ + ?_)2 - 4go0/( 1 -|у|2)]^(?+- ?_)2, (346)
или иначе
- I о |4 (?+ + ?_)2 + 21 у P (?2 + El - 2goo) - (Е+ - EJ ^ 0. (347)
Корни этого квадратного трехчлена относительно |у|2 равны
[(El - goo),/2 ± (El - Ы'/212/(?+ + EJ. (348)
Следовательно,
I о I Ss I (Ei - ?оо)1/2 - (El - Ы1/21/(?+ + E.), (349)
и искомый нижний предел |ш| следует из уравнения (336). Получившееся неравенство называется неравенством Бардина — Пресса — Тьюкольского.
Если частица с энергией ?+ движется по устойчивой круговой орбите в экваториальной плоскости пространства-времени Керра, то ее максимальная энергия (как мы видели) равна 3-1/2. При
