Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Разрешив его относительно Lzi получим следующее выражение: Lz = [1/(г - 2M)] {— 2аМЕ ± А1/2 [г2?2 -
При выводе этих соотношений было использовано тождество
Ar2 — 4а2М2 - Ir2 (г2 + а2) + 2а2Мг] (1 — 2М/г). (298)
Из уравнения (296) можно получить условия, при которых энергия Ei измеренная наблюдателем на бесконечности, может быть отрицательной. Прежде всего важно отметить, что частица единичной массы, находящаяся на бесконечности в состоянии Іюкоя, должна иметь энергию E = 1 в соответствии с принятым (Нами соглашением. Чтобы удовлетворить этому требованию, Ьужно выбрать положительный знак в правоц части уравнения (296). Теперь очевидно, что необходимыми условиями выполнения неравенства E < 0 являются следующие:
помощью тождества (298) последнее неравенство может быть иведено к виду
сюда следует, что E < 0 в том и только в том случае, если
[г (г2 -j- а2) + 2а2М] E2 — AaMLzE — L2z(r — 2М) —
— (S1/* + Qjr) A=O. (295)
+ [г (г2 + а2) + 2am] {Ьхг + <?/-')}1/2). (296)
— (г — 2М) (бtr + Qr- ')]1'2}. (297)
Lz <0,
(299)
I 4O2M2L2z > A {r2L2z + [г2 (г2 + a2) + 2а2Mr] (6, f Qlr2)}. (300)
[г2 (г2 + а2) + 2а2Afr] {(1 — Ш/г) LI + А (6, + Qjr2)) <0. (301)
Lz < 0 и (г - 2М) < - (ArJLl) (6, + Q!r% (302)
94
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Следовательно, только частицы, направление вращения которых вокруг черной дыры противоположно вращению самой черной дыры, могут иметь отрицательную энергию, а в экваториальной плоскости, кроме того, необходимо, чтобы г < 2Mi т. е. частицы должны находиться в эргосфере.
а. Процесс, предложенный Пенроузом. Пенроуз предложил следующий процесс, иллюстрирующий возможность извлечения энергии из керровской черной дыры.
Частица, двигаясь по геодезической из состояния покоя на бесконечности, попадает в экваториальную плоскость в точке г (<2УИ), которая является ее точкой поворота (т. е. в этой точке г = 0). В точке г частица распадается на два фотона, один из которых уходит в черную дыру, пересекая горизонт событий, и «теряется», а другой вылетает на бесконечность. Рассмотрим случай, когда фотон, пересекающий горизонт событий, имеет отрицательную энергию, а энергия фотона, уходящего на бесконечность, больше, чем энергия частицы, пришедшей с бесконечности.
Пусть
Е{0) = 1, ЬГ, ?С1), L(zl\ Е(2) и Lz2) (303)
обозначают энергию и момент количества движения соответственно частицы, приходящей из бесконечности, и фотонов, один из которых пересекает горизонт событий, а второй уходит на бесконечность.
Поскольку частица приходит в точку г, двигаясь по времени-иодобной геодезической, и г есть точка поворота ее траектории, то Liz0' можно найти из уравнения (297), если в нем положить S1 = I, E= 1 и Q = 0. Получаем таким образом:
Lf = [1 /(г - 2Af)][— 2аМ + (2МгД),/2] = а(0). (304)
Подобным же образом, полагая S1 = Q = 0 и выбирая соответственно отрицательный и положительный знаки в уравнении (297), можно получить соотношения между энергией и моментом количества движения фотона, пересекающего горизонт событий (отрицательный знак), и фотона, уходящего на бесконечность (положительный знак):
Lin = [1/(г - 2M)] (—2аМ - гД1/2) ?(1) = а(1)?(1), (305)
Lf = [1 /(г - 2М)\ (— 2аМ + гА]/2)'Е(2) = а(2,Е(2). (306)
Законы сохранения энергии и момента количества движения требуют, чтобы выполнялись соотношения
?<»+?<*>=»?«>) = 1, (307)
Li1’ + = CJmEu.* + а (2)?(2) = Li0’ = а<0).
(308)
65. Процесс Пенроуза
95
Из этих уравнений можно найти значения и E^:
Ei D = (««» — а(2))/(а(1> — а<2)),
?(2) = (а(1) _ а(0))/(а(1) _ а(2))в (309)
Подставляя значения а(0), аП) и а(2) из уравнений (304)—(306),
получаем
?<» = - -L[(2M/r)I/2- 1], ?(2) = +-L^Af//-)1/2 + 1]. (310)
Фотон, уходящий на бесконечность, будет иметь энергию, большую, чем энергия частицы ?<0) = 1, если г < 2М (как мы и постулировали). Выигрыш в энергии AE равен
AE = -L[(2M/ryi2 - I]= -?<D. (311)
Из уравнения (311) следует, что максимальный выигрыш в энер-
гии в рассматриваемом процессе достигается тогда, когда точка поворота траектории частицы находится на горизонте событий. Следовательно,
AE < -i-[(2M/r+)I/2 - 1]. (312>
Поскольку минимальное значение г+ равно M (когда а2 = Al2), AE < (/2 — 1)/2 = 0,207. (313)
Поучительно вывести это неравенство и другим способом.
Введем с этой целью понятие «неприводимой массы»
Mir = -L {г\ + а2)1/2 = (Мг+/2)'/2. (314)
Ниже в п. 65, г будет дано объяснение этому названию. Неравенство (312) теперь можно переписать следующим образом:
А? < -j- (MIMir — !)• (315)
Из уравнения (296) можно вывести более общее неравенство.
Именно, из уравнения следует, что
Ir (г2 + а2) + 2a2M ] E — 2aMLz ^ 0. (316)
В частности,
[/"+ (г2 + а7) + 2а2М] E — 2aMLz ^ 0. (317)
Ho
r+ (г2 + а2) + 2а2М = 2M (г2 + а2) = 4М2г+. (318)
Следовательно,
2Mr+E — aLz 0. (319)
В п. 65,.г мы еще вернемся к этому неравенству.
Глава I. Геодезические в пространстве-времени Керра
б. Неравенство Уолда. Существуют ограничения на энергию, которая может быть извлечена из черной дыры посредством процесса Пенроуза. Мы выведем два неравенства (впервые полученные Уолдом и Бардином, Прессом и Тьюкольским), которые выявляют причины этих ограничений.
