Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
эту функцию двух переменных в качестве новой координаты.
Рассмотрим координатное преобразование
(^ x3j _^(р? г)? (29)
& [(dx2)2 + (dx3)2] ->/ (p,’z) [(dp)2 + (Az)2]. (30)
Ясно, что такое преобразование координат возможно, если
(Р,г)2 + (z, 2)2 = (Р, з)2 + (2, з)2>
Р, 2р, 3 + Z> 2Z, 3 = 0- (31)
Этим условиям можно удовлетворить, положив
Р, 2 = ~hz, зу Р, з = z, 2- (32)
Очевидно, уравнения (32) удовлетворяются вследствие уравнения
Р,а* = 0 (р=^). (33)
Следовательно, функцию exp (P) = р можно выбрать в качестве одной из координат; при этом метрика (27) принимает вид
ds2 = р [% (At)2 — (1/Х) (cUp — со At)2 ] —
— ^ [(dp)2 +(Az)2], (34)
где х, со и |л — функции риг. Будем говорить, что метрика записана в форме Папапетру.
10
Глава 6. Метрика Keppa
53. Выбор калибровки и приведение уравнений к стандартному виду
Конкретный выбор калибровки, который будет сделан ниже, не приводит к какой-либо потере общности и на данном этапе он не является строго необходимым. Однако этот выбор дает нам физическое обоснование поиска метрики определенного вида.
Удобно выбрать полярный угол 0 (угол с осью симметрии) в качестве пространственной координаты хъ. (Ниже в настоящей главе мы заменим угол 0 на функцию cos 0 в качестве независимой переменной.)
Будем предполагать, что метрика допускает горизонт событий, который определим как гладкую двумерную изотропную поверхность, натянутую на касательные векторы d/dt и д/дср — «векторы Киллинга» пространства-времени.
Пусть уравнение, задающее горизонт событий, имеет вид
согласующийся с предполагаемой стационарностью и аксиальной симметрией пространства-времени. Поверхность горизонта изотропна, следовательно,
где г — X2. Вследствие калибровочной свободы можно предположить, что
где Д(/*) — некоторая функция переменной г, которую пока оставим неопределенной. Из уравнения (37) теперь следует, что условие изотропии поверхности принимает вид
Второе условие в определении горизонта — изотропная поверхность должна быть натянута на векторы d/dt и д,'дер — требует, чтобы 'детерминант метрики подпространства (/, ф) равнялся нулю на поверхности Д (г) = 0:
м (Х\ *3) = о,
(35)
(36)
(37)
ехр {2(цз - (X2)) = A (г)
(38)
А (г) = 0.
(39)
е2Р = 0 (А (г) =0).
(40)
Поскольку вид функции А еще не задан, без потери общности можно предположить
= Д1/2/ (г, 0), (41)
53. Выбор калибровки и приведение уравнений
11
где / (г, 0) — некоторая функция г и 0, регулярная на поверхности А (г) = 0 и на оси 0 = 0. Ho мы предположим, что функция exp (P) имеет более специальный вид
= Д1/2f (0)f (42)
т. е. что эта функция допускает разделение переменных г и 0.
Если функции exp ([Ji3 — (X2) и ехр (р) удовлетворяют уравнениям (38) и (42), то уравнение (14) для функции exp (P) прини-
мает вид
[Al/2 (^/2),.1,.+(1//)/,ее = о, (43)
Требования регулярности на оси и выпуклости горизонта дают Airr = 2, f = sin 0. (44)
Подходящее решение для А имеет вид
А = г2 — 2 Mr + а2, (45)
где M и а — постоянные*. (Ниже мы покажем, что эти постоянные есть не что иное, как масса и удельный момент количества
движения черной дыры.)
Таким образом, в выбранной нами калибровке, которая совместима с существованием горизонта событий, имеем
е^з-иг = Ді/?, = A1/2 sin 0, (46)
где А дается уравнением (45).
Очевидно, что сделанный выбор решений для exp ([A3 — (X2) и exp (P) не ведет к потере общности, поскольку метрика имеет форму Папапетру, если
р = еР = ді/2 sin 0, z = (г — M) cos 0. (47)
Если, кроме того, вместо координаты 0 ввести переменную (обозначавшуюся индексом 3)
ц, = cos 0, (48)
то уравнения (15) и (7) приводятся соответственно к виду
[Д(ф—v)l2]>2 + W(^-V)l3Ij3 =
= —?2 (H-V) [Д (о), 2)2 + б ((B1 з)2 ], (49)
IAe2 (D-V) a]j 2 + [Se2 (D-V) (O1 з]> з = о, (50)
где
б = I — H2 = Sin2 0. (51)
* Следует отметить, что хотя М. и CL появились как постоянные интегрирования, (M2 — а2 )и Д инвариантны относительно преобразования (Ксантопулос)
M M' = (M2 — а2)1/2/р, a^a' = q(M2 — а?)1/2/р, г-М^г' — М', где р н q — постоянные и р2 + q2 = 1.
12
Глава 6. Метрика Keppa
Пусть х определяется уравнением (19). Тогда уравнения (49) и (50) можно записать следующим образом:
(^- X, 2), 2 + (-Y Х,з)_, = (1/Х2) [A K2)2 + б (со.з)2], (52)
(-!""2), 2+ (^co-Oi3 = 0, (53)
или иначе
X U Ах, 2), г + (®Х> з), з Ї =
= А Кх, 2)2 + (<0,2)21 + б [(х, 3)2 + ((0, з)21, (54)
X f(A(0, 2), 2 + (бсо, 3), 3] = 2А%, 2(0, 2 + 26х, 3со, з- (55)
Полагая теперь
Х = х +(о, Y = X- со. (56)
получаем пару симметричных уравнений:
V2 (X + У) I(AX2)i2 + (6Х,3),3] =
= A(X12)2 +6 (Х)3)2, (57)
V2 (X + У) [(АГ, 2), 2 + (б Yt 3), з I = А (Г, 2)2 + б (У, 3)2. (58)
Уравнения (8) и (16) (определяющие Jl2 + |х3) после некото-
рых элементарных преобразований приобретают вид
(М’/б) (щ + щ), 2 + M)/А ] ([X3 + Ji2), з =
= [2/(X + Г)2 ] (X, 2У, з + У, *Х, 3), (59)
2 (г М) ([X3 + [х2), 2 + 2[х ([X3 + [х2), з =
