Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= +1V2imv [в-2м-2(ш, 2)2 + е-2^> (со, з)2] (Roo = 0), (5)
е~2уІ2 [1I5, 22 + 1P, 2 (1I5 + V —• Иг + (?), 2] +
52. Уравнения для стационарного пространсша-времени
7
+ е~2^ [ф, зз + ф, а(ф + V + (I2 — и,), 3] =
= -l/2e^[e-^ (CO, 2)2 + е-2^з ((Oj ,)2] (/?„ = 0), (6)
(еЗФ-v-M, (Oj 2)_ 2 + (еЭф-v+ixr-ii, ю з), з = о (/?01 = 0), (7)
(1I5 4" vX 23 Ol5 + V), 2 М-2, 3 (1I5 H- V), ЗМ-З, 2 + 1I5, 2^, 3 4" V, 2V, 3 =
= 1Zze2^5v (О, 2(0, 3 (#23 = 0), (8)
е-гцз 33 ^1J5 _|_ v)> з (v — (I3)1 з + Ф, зФ, з] +
+ e~2>1‘ [v, 2 (tI5 “Ь" Из), 2 + 1I5, 2Н-3, 2І =
= -1Ae2^2v [е-2^ (CO, 2)2 - <г2»> (со, з)2] (G22 = 0), (9)
ЄГ2M^ [(\|) -|- V), 22 + (lp + v), 2 (v (?), 2 + 1I5, S1P, 2І +
+ є-2»* [v, з (\|) + (I2), з + гр, з(А2) з] =
= +lU^-2v[e~2^ (CO,2)2 - е-2»> (CO,з)2] (G33 = 0). (10)
Полагая
P = 'ф +V, (11)
можно переписать уравнения (5) и (6) в следующем виде:
(<?P+^V>2),2 + (^-fi3V1 з), з =
= Vae3^v [е^-^((о, 2)2 + ((Oi3)2], (12)
2), а + (ЄР+Д‘_Д* ^,3),8 =
= -V2C3^v [ЄМ..-М-.(COj а)2 _J_ e»,-»3 (©,з)2]. (13)
Складывая и вычитая эти уравнения, получаем
[^-“*И,2],2 + И^3И,3],з =0, (14)
[еР+ц3-ц2 (ф _ v), 2], г H- (ф — v)i3]l3 =
= —еЗф-v (0>> а)2 _(_ (?0, з)2]. (15)
Если сложить уравнения (9) и (10), то получим уравнение (14), если же эти уравнения вычесть друг из друга, приходим к уравнению
ф, 2(г3,2 + i|), 2v, 2) — 4е**«-“* (Р, 3(^2,3 + Ф,з^,з) =
= 2ег» {[е*.-!*. И,2],2 - [<?«**-“• И,3],з} -
— e2^~2v [e^3-jx2 (С0) 2)2 _ е|Х2-Цз ((O1 3)2]. (16)
Можно предложить следующий порядок действий при исследовании вышеприведенных уравнений.
Прежде всего, используя калибровочную свободу, наложим на функции (i2 и (I3 координатное условие: функция
?2 (ц3-ц2), _ Д (х2, Jt3) (17)
должна иметь некоторый удобный для дальнейших выкладок вид. Теперь уравнение (14) становится уравнением для функции
8
Глава 6. Метрика Keppa
P _|_v. Решение его не представляет трудностей. Действительно, ниже в п. б будет показано, что функция exp (P) может рассматриваться в качестве одной из координат (другими словами, ее можно включить в определение координаты). Уравнения (7) и (15) теперь представляют пару связанных уравнений для функций г|)—V и со, и решение этой системы уравнений является центральной задачей теории стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна.
Смысл проведенных преобразований становится ясным, если записать метрику (1) в виде
dS2 = е$ [х (dt)2 — (1/х) (гіф — со dt)2] — A-1/2e»1*+»lj[(dx2)2 + Д (dx3)2],
(18)
где
Д _ е2 (М-з-Дг),
p = x|)-l-v, i = e'^+v. (19)
Функцию Д, как уже говорилось, можно выбрать произвольно; уравнение для P может быть решено независимо от других, а основной задачей является решение уравнений для % и со, причем решение для функции |л2 4- 1? получается в квадратурах, если известны функции % и со (это будет подробно показано ниже).
Отметим важный факт: функция exp (—2Р) есть детерминант метрики двумерного пространства, натянутого на векторы d/dt и д/дф.
Кроме того, уравнения для функций % и со также обладают важным свойством. Если переписать уравнение (7) в виде
(e3^-V-M<2+H3 (OO)j Д 2 _|_ ^з-ф—V+M-*—М-3COCO1 3^ 3 =
= -f еЗф-V ^Дз-Д2 ((O1 2)2 -J- ЄМ.2-М.З (CO, 3)2J (20)
и использовать уравнение (15), получим {^-v-д^дз [((O2)j 2 -f 2<T21>+2v(l|> - V), 2]}, 2 +
+ [((O2)j3 4- 2^+2v(\|) - v),8]}>3 = 0. (21)
Последнее уравнение можно переписать в виде
[?Зф-\’-м.2+Дз (^2 _ ?)2) 2]^2 _j_ [e3il)-v+M.2-^3 (^2 _ CO2), з], 3 = 0- (22)
Сравнение уравнений (7) и (21) показывает, что функции со и %2—со2 формально удовлетворяют одному и тому же уравнению.
а. Сопряженные метрики. Важной особенностью уравнений, описывающих метрику стационарного аксиально-симметричного пространства-времени, является возможность, зная одно решение, получать другие решения. Например, если метрику (18) подвергнуть преобразованию
^->+Іф, ф-Н>--it у
(23)
52. Уравнения для стационарного пространства-времени
9
то в результате получим
X(dtf - (1/х) (d<p - CBdO2(1/х) (d/)2+ + (2©/х) dt гіф - [(х2 — со2)/х] (dcp)2 =
= (2 (dO2 - 0/x)(d<P — wd02J, (24)
й = ®/(Х2 - ®2). X = Х/(Х2 - ®2)- (25)
Никакие другие метрические коэффициенты не изменяются при
этом преобразовании. Заключаем, что если (%, со) есть решения интересующих нас уравнений, то (%, со) также есть решения тех же уравнений. Это утверждение будет явным образом проверено в § 53: оно является следствием того, что функции со и X2—со2 удовлетворяют одному и тому же уравнению.
Назовем (х, со) и (%, о>) сопряженными решениями, а преобразование (23) — сопряжением.
б. Преобразование Папапетру. В калибровке
1? = 1? = Мм A = I (26)
метрика (18) принимает следующий вид:
ds2 = е$ [% (At2) — (1/х) (гіф — со d/)2] — е2^ [(dx2)2 + (dx3)2], (27)
причем функция exp (P) удовлетворяет уравнению
И,аа = 0 (а = 2,3). (28)
Мы можем теперь использовать тот факт, что exp (P) удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа, чтобы рассматривать