Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы Картера в п. 114, г совпадает с приведенным в [28], а основные аргументы в п. 114, д, касающиеся устойчивости решения Керра относительно аксиально-симметричных возмущений (пункт 2), взяты из статьи [30]. Однако Фридман и Шутц доказывали непрерывность функции а от параметра Керра а, опираясь на теорию рассеяния, примененную к уравнениям Тьюкольского, и на менее общие теоремы (но достаточные для их целей), чем теоремы, доказанные Хартлем и Уилкинсом:
31. Hartle J. В., WilkinsD. С. Commun. Math. Phys., 38, 47—63, 1974.
Как указывалось в тексте, можно избежать обращения к теоремам из теории рассеяния, а опираться прямо на теоремы, которые утверждают, что собственные значения самосопряженного дифференциального оператора, аналитически зависящего от параметра и всюду плотного на пространстве функций, интегрируемых с квадратом, непрерывно зависят от этого параметра. Cm. по этому вопросу работу
32. Riesz F., Sz.-Nagy В. Functional Analysis, Blackie and Son Limited, London, 1956, § 136, pp. 373—379.
Автор благодарен Джону Л. Фридману за советы и полезные обсуждения всех вопросов, рассматривавшихся в этом параграфе.
> Приложение
ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ ТЬЮКОЛЬСКОГО И СВЯЗАННЫХ С НИМИ ФУНКЦИЙ
В гл. 7, 9 и 10 было показано, как можно полностью описать с помощью радиальных и угловых функций Тьюкольского для различных значений спина реакцию керровской черной дыры на падающее электромагнитное и гравитационное излучение и поток безмассовых нейтрино. Кроме Брейера, Райяна-мл. и Уоллера [2], Фэкерелла и Кроссмана [3] никто не предпринимал серьезных попыток изучить эти функции так, как того требует место, занимаемое ими среди специальных функций математической физики. Функции, которые возникают при разделении переменных в уравнении Дирака и обладают дополнительным свойством — явной зависимостью собственного значения от массы частицы, — вообще не изучались.
Можно надеяться, что удастся понять истоки замечательных тождеств и свойств, которые были обнаружены при решении линеаризованных уравнений Ньюмена — Пенроуза в гл. 9. Ho до сих пор не удается подобрать ключ к этой задаче.
Поскольку большинство тождеств и соотношений в гл. 9 были выведены после трудоемких преобразований, казалось полезным проверить их непосредственными численными расчетами, чтобы убедиться в отсутствии случайных алгебраических и других ошибок. С этой, а также с другими целями д-р С. Детвейлер любезно согласился взять на себя труд составить таблицы для радиальных и угловых функций для s = ±2 и s = ±1 для двух характерных случаев а = 0,95 и 0 и а = 0,5 и 0,25. Эти таблицы включены в приложение, ибо они могут оказаться полезными и для других специалистов, заинтересовавшихся этой областью анализа.
Радиальные и угловые функции для спина 2 (табл. I и II) нормированы, как указано в тексте: радиальные функции, принадлежащие s = +2 и —2, удовлетворяют комлексно-сопряжен-ным соотношениям Старобинского (уравнения (41) и (42) гл. 9), а угловые функции нормированы на единицу. Функции 91 и & определены в гл. 9 уравнениями (178), (179), (183) и (184), а различные «скобочные» выражения — в п. 81, б. Различные постоянные (уравнение (161) гл. 9), связанные с табулированными функциями,равны
а = 0,95 / = —т = 2
о = 0,5 0,25
336
Приложение
X = 0,88693 2,4308
а2 = —2,8975 —6,6975
а (Xa2 — 6а2) = —3,99244 —5,42382
T1 = 11,2530 15,7935
12,4482 17,3831
М=-г2) = -6 -з
В табл. III и IV затабулированы функции в шварцшильдовом пределе а = 0.
Табл. V и VI дают радиальные и угловые функции (в стандартной нормировке) для спина I. С этими решениями связаны постоянные
а = 0,95 / = —т — 2
о =0,5 0,25
X =3,9317 4,9294
а2 = —2,8975 —6,6925
V = D = 4,2844 5,0964
Наконец, в таблице VII перечислены собственные значения к, принадлежащие угловым функциям для различных значений спина, I и т\ данные для вычислений в случае 5 = 2 и 1 взяты из работ Пресса и Тьюкольского [4, 5], а данные для 5 = 1/2 были предоставлены Пейджем.
Библиографические замечания
В цитируемых статьях авторы работали со спиновыми сплюснутыми сфероидальными гармониками:
1. Goldberg J. N., Macfarlane A. Jr., Newman Е. T., et at. J. Math. Phys., 8, 2155—2161, 1967,
2. Breuer R. A., Ryan М. P., Jr., Waller S. Proc. Roy. Soc. (London) А, 71—86, 1977.
3. Fackerell Е. D., Crossman R. G. J. Math. Phys., 18, 1849—1854, 1977.
Пресс и Тьюкольский составили таблицы коэффициентов разложения собственных значений X в ряд по степеням ао как для S = 2 [4], так и для s == 1 [5]:
4. Press W. Я., Teukolsky S. A. Astrophys. J., 185, Appendix С, 668, 1973.
5. Teukolsky S. A., Press W. Н. Astrophys. J., 193, Table 2, 454, 1974. Коэффициенты разложения собственных значений X в степенной ряд при s = 1/2 были любезно предоставлены автору Д. Н. Пейджем.
Примечание при корректуре. В табл. I и II величины [Р]~, [DP]~ и
[DDP]~ чисто мнимые, и числа в соответствующих столбцах следует умножить на мнимую единицу
Таблица I
Радиальные функции для s = ±2(а = 0,95; а = 0,5; I = —т — 2)
