Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(346)
8и ¦= О, %Ф О
(347)
114. Вариационный метод и устойчивость решений
331
коэффициент при о2 в вариационном выражении становится равным
JjJ e-2v [2 (бт)2 -f V2^Q2 + 72е2^-^зХ2] (_g)i/2 сіф dx2 dx3, (348)
а это выражение является положительно определенным. В дальнейшем будем предполагать, что выбрана калибровка (347).
Устойчивость решения Керра относительно аксиально-симметричных возмущений следует из трех основных фактов:
1) последовательность решений Керра не допускает нулевых мод;
2) неустойчивость могла бы наступить (если вообще наступит) только в результате наличия чисто мнимой моды о = —ik, причем k > О,
3) мнимые частоты неустойчивых мод (если они существуют) должны непрерывно зависеть от параметра а последовательности Керра.
Недопустимость нулевых мод, очевидно, гарантируется теоремой Картера. И как мы видели в п. 114, г, вариационный подход к задаче о возмущениях дает независимое доказательство этого факта.
Чтобы доказать вещественность а2, исходя из вариационного выражения (даже в калибровке (347)), мы должны прежде всего удостовериться в том, что поверхностные интегралы при стремлении поверхности S1 к горизонту, a S2 к бесконечности (см. замечание в абзаце, предшествующем уравнению (338)), не вносят никакого вклада в выражение в правой части (343). Это, однако, следует из общего исследования, проведенного в гл. 9, где показано через переменную г* (в случае т = 0 и г > г+ преобразование к этой переменной является однозначным), что решения имеют структуру уходящих и входящих волн. Этот факт и расходимость коэффициента (348) (вследствие появления множителя e~2v в подынтегральном выражении) гарантирует, что для неустойчивых мод с комплексной частотой ст поверхностные интегралы не вносят никакого вклада. (Заметим, что отношение интегральных выражений в правой и в левой частях уравнения (343) постоянно для всех значений г.) Таким образом, положительная определенность коэффициента" (348) гарантирует, что если неустойчивость и возникает, то она может быть вызвана только конечной чисто мнимой модой (так как величина а2 действительна).
Поскольку о = 0 запрещено, спектр а должен лежать целиком на положительной или целиком на отрицательной мнимой полуоси. Ho мы знаем, что для решения Шварцшильда с а = 0 не существует неустойчивых экспоненциально растущих мод. Следовательно, если удастся показать, что а зависит от параметра а непрерывным образом, то возможность появления неустойчивости для любого значения а исключена.
11*
332
Г лава 11. Другие решения, альтернативные методы
Оказывается, есть теоремы, с помощью которых можно установить непрерывность функции а (а). Условия этих теорем в нашем случае выполнены, потому что рассматриваемые дифференциальные операторы являются самосопряженными и плотно определенными на пространстве функций, интегрируемых с квадратом, и, кроме того, эти операторы аналитичны по параметру а. Этого достаточно, чтобы гарантировать требуемую непрерывность функции а (а).
Заключаем отсюда, что решение Керра устойчиво относительно аксиально-симметричных возмущений.
Воникает вопрос, нельзя ли изложенный в этом разделе формализм распространить и использовать для решения других проблем математической теории черных дыр. «Это могло бы составить тему нового рассказа, но теперешний рассказ наш окончен.»*
Библиографические замечания
§ 109, HO. Решение, которое теперь называется решением Керра—Ньюмена, было впервые опубликовано в работе
1. Newmart Е. Т., Couch E., Chindapared К. et al. J. Math. Phys., 6, 918—919, 1965.
Оно было получено этими авторами путем комплексного преобразования решения Рейсснера—Нордстрема аналогично тому, как ранее Ньюмен и Джанис в [2] вывели решение Керра, подвергнув комплексному координатному преобразованию решение Шварцшильда.
2. Newman Е. T., Janis Л. J. J. Math. Phys., 6, 915—917, 1965.
Смысл такой процедуры, которая воспринималась поначалу как «любопытный трюк», был выяснен в работе
3. Newman Е. Т. J. Math. Phys., 14, 774—776, 1972.
Вывод метрики Керра—Ньюмена в тексте повторяет вывод решения Керра в гл. 6 (§§ 52—54), а также работу
4. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London), А358, 405—420, 1978.
Выкладки § 109 в основном посвящены выводу уравнений Эрнста прямо из уравнений Эйнштейна—Максвелла, явно выписанных для стационарного аксиальносимметричного пространства-времени. Оригинальный вывод Эрнста для других целей содержится в работе
5. Ernst F. J. Phys. Rev., 168, 1415—1417, 1968.
Трансформационные свойства уравнений Эрнста, рассмотренные в п. 109, г, см. в работах
6. Xanthopoulos В. С. Phys. Lett., 98В, 377—380, 1981.
7. GUrses М.t Xanthopoulos В. С. J. Phys. A (in press).
8. Harrison В. К. J. Math. Phys., 9, 1744—1752, 1968.
Влияние операции сопряжения на потенциал H (п. 109, д) исследовалось в сотрудничестве с Б. С. Ксантопулосом, которому автор благодарен за многочисленные обсуждения, касающиеся изложения этих вопросов.
Из формального совпадения метрик Керра и Керра—Ньюмена, отличающихся лишь определением «функции горизонта» А, очевидно, конечно, что изотропный тетрадный базис, принятый нами в § 56 гл. 6 для описания пространства-времени Керра в формализме Ньюмена—Пенроуза, и различные выражения для спиновых коэффициентов, выведенные в гл. 6 (уравнения (175)), можно без всяких изменений использовать и для описания пространства-времени Керра—Ньюмена. Cm. по этому вопросу работу
