Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
jjj [-V2 (Q2), a е—a + 2Q2<?-3’H-V\|},ax|},a + V4Q2Xe-P] dx = o,
(332)
где подстановки обращаются в нуль в силу граничных условий на бесконечности и на горизонте. Перегруппировав члены в подынтегральном выражении (332), получаем уравнение (331).
Для доказательства теоремы Картера проверим, воспользовавшись соотношениями (328), что справедливы следующие равенства:
j j j gp (61(3, a бф, e — S6l(3) dx =
= Jjj [eP6v|),a6ilu-r Q (® 361(),2 - CO, з бф, 3)] dx =
= J j j {<?P [(6v|), 2 f V2e-PQ®, 3)2 + (бф, з -- V2^-PQ®, 2)2] -
- 1Ae-PXQ2I dx. (333)
Исключая затем член —1Ue-VXQ2 из уравнения (333) с помощью леммы 2, перепишем уравнение (329) в виде
j j j [бф, 2 + 1Ae-PQ®, з)2 + (бф, 3 - V2?~PQ®, 2)2] -f + 1Aep (Qe-2^)t a (Qe-2’1’), a + <r-3*+vQ2l|>, et|>, e - 1ZtT3^Q, aQ, a +
-)- 2е3Ф-^(о, aco, a (6v|))2j dx = 0. (334)
324
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
С другой стороны, в силу уравнений (328) и (330)
V4 j J j ^'•’+'’Q.aQ.adx = j j j 6l|)dX =
= j j j (Q, 2« 3 -- Q, 3®, 2) dx = = Jj 1\e^ Ke~2l|,Q\ 2 w, з - (s~2l|>Q), з ®, 2] + t- 2Q (i|), 2co, 3 - ?, 3co 2)} dx. (335)
Подставляя это последнее соотношение в уравнение (334) и перегруппировав члены, получаем
Ijj [еР K1A^-pQw, 3 + &|>,2)2 + (V2S-pQo), 2 - бф, з)2 +
+ [(V2S-2lfrQ), 2 - ^-vCO, з бг|}]2 + [(V2S-2^Q)1 3 -Ь ^-vCO1 2 бф]2| +
+ er-W+v [(Qvl)i 2 — еЗФ-v^ 3 6^)2 _|_ 3 _|_ 2 бг|))2]] dx = 0.
(336)
Мы свели, таким образом, подынтегральное выражение (329) к сумме квадратов. Равенство интеграла нулю возможно только в том случае, если каждое из слагаемых тождественно равно нулю, и сразу же видно, что это выполняется тогда и только тогда, когда
вф = Q = 0. (337)
Нетривиальная квазистационарная деформация, следовательно, невозможна, и теорема Картера доказана.
д. Вариационная формулировка задачи о возмущениях. Начнем с того, что заново сформулируем задачу. Мы рассматриваем стационарное решение уравнений Эйнштейна в пустоте, удовлетворяющее определенным граничным условиям, которые обычно требуются для решений вне горизонта событий черных дыр. Затем рассматриваем вариацию этого решения, описываемую приращениями первого порядка малости 8v, 8\|), бсо, Q, 6|Л2, 8|л3 и % в различных метрических функциях. Эти вариации удовлетворяют уравнениям двух типов: уравнениям начальных условий и динамическим уравнениям. Мы также требуем, чтобы вариации подчинялись определенным граничным условиям на горизонте и на бесконечности. Если теперь предположить, что зависимость вариаций от времени имеет вид ехр (Iot)1 где а может принимать комплексные значения, то динамические уравнения, которым удовлетворяют вариации, в сочетании с наложенными на них граничными^ условиями составляют задачу на собственные значения для а. ,
При вариационной формулировке задачи на собственные значения мы сопоставляем собственным вариациям (которые удовлетворяют и уравнениям начальных условий, и динамическим уравнениям) пробные вариации 6v, 8\|), бсо, Q, 6р,2, Su3 и %, которые
114. Вариационный метод и устойчивость решений
325
должны быть совместны с уравнениями начальных условий и удовлетворять тем же граничным условиям, что и собственные вариации, но в остальном произвольные. Другими словами, пробные вариации отличаются от собственных вариаций лишь те», что последние должны удовлетворять динамическим уравнениям, тогда как первые — нет. В частности, пробные величины будут иметь ту же зависимость от времени ехр (iat), что и собственные.
Первым шагом при вариационной формулировке задачи на собственные значения является получение формулы для а2 посредством умножения уравнения начальных условий, которому удовлетворяет пробная величина, на ту или иную- собственную величину (или умножением динамического уравнения, которому удовлетворяет собственная величина, на. пробную величину). Затем интегрированием по всему трехмерному пространству вне горизонта событий надо попытаться, если возможно, с помощью интегрирования нужное число раз по частям (как в предыдущем разделе при доказательстве теоремы Картера) и использования уравнений начальных условий и динамических уравнений, которым удовлетворяют собственные величины, и уравнений начальных условий, которым удовлетворяют пробные величины, сделать так, чтобы в интегралы в формуле для а2 собственные и пробные величины входили полностью симметрично. Если такие преобразования окажутся возможными, то будем говорить, что дифференциальные операторы, определяющие задачу на собственные значения, являются самосопряженными и в этом случае вариационная формулировка становится возможной. Ho прежде всего укажем, как такая формула для о2 может быть получена для рассматриваемой нами задачи.
Запишем уравнения (275) и (276) для пробных величин (мы уверены, что они удовлетворяют этим уравнениям, поскольку это уравнения начальных условий) и умножим их на 6\f>l2 и б\|з,3 соответственно, затем сложим и проинтегрируем по трехмерному объему, заключенному между двумерными поверхностями S1 и S2. В конце концов устремим поверхность S1 к горизонту," а поверхность S2 — к бесконечности, но пока оставим их произвольными. Проинтегрировав несколько раз по частям, получим, воспользовавшись (только лишь!) компонентой (0,0) линеаризованных уравнений поля и соотношением (302), которое следует из него, что