Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Квазистационарная деформация аксиально-симметричного пространства-времени с метрикой (240) приведет к появлению бесконечно малых приращений функций v, <ф, (о, \I2 и |i3, сохранив при этом координатное условие, которое могло быть наложено на функции [х2ги Ji3. Вследствие этого последнего свойства удобно начинать с метрики, которая первоначально имеет вид
ds2 = e2v (d/)2 — е1^ (d(p — со dt)2 — ё-^ [(dx2)2 -)- (dx3)2], ^309)
114. Вариационный метод и устойчивость решений
321
т. е. положив [X2 = Из- Квазистационарная деформация про-странства-времени приведет к бесконечно медленному изменению функций V, ip, со и [х на величину соответственно 8v, бір, б со и 8[х. Уравнения, которые описывают эти изменения, могут быть получены прямо из уравнений, выведенных выше в п. 114, б и 114, в, если положить равными нулю производные по времени во всех динамических уравнениях и во всех уравнениях начальных условий, записанных в интегральной форме. Кроме того, для квази-стационарных деформаций пространства-времени с метрикой (309) имеем
х = 0, б (Из — Иг) = 0. (310)
Прежде всего мы видим, что уравнение (304) теперь упрощается и для квазистационарных деформаций принимает следующий вид:
(бр, 22 |- 2(3,2 бр, 2) -f (бр, зз -L 2р, з бр, з) = 0. (311)
записанное через двумерные декартовы тензоры (которые мы будем использовать и в дальнейшем), оно имеет вид
(^),^ = 0 (а = 2,3), (312)
поскольку уравнение, описывающее состояние равновесия, гарантирует равенство
И.аа =0. (313)
Из уравнения (312) следует, что
бр = 0, (314)
поскольку, умножая уравнение (312) на бр и интегрируя по всему трехмерному пространству (х1, X21 X3) вне горизонта событий, получаем после интегрирования по частям
JjJwUWXadx = O, (315)
а проинтегрированная часть равна нулю вследствие граничных условий (ср. с §§ 53 и 55 гл. 6):
Ґ 0 на горизонте,
еР = { О (г), Sp = О (Г1) при /-->оо. (316)
Равенство нулю бр следует из положительной определенности подынтегрального выражения в (315). Отсюда заключаем, что в случае квазистационарных деформаций к условию (310) следует добавить
бір - — 6v. (317)
В силу требований (310) и (317) уравнения начальных условий (275, (276), (279) и (280) теперь принимают следующий вид:
(ер6ф), 2 — (<?Р), 2 би -H <?Р6и,2 — 2epv, 2 бф = — 1Z2Qco, з,
(еРбф), з - (ер), з 6и + ep6Ms 3 -- 2еІ\ з бф = + 1Z2Qai2, (
б®,2 = — 4са)26ф — e~3,H-vQ,3,. 6(о,3 = —4(o,36\f + e-3^+vQ,2, (319)
322
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
где
Q = eW-i»(q2t9-q3'2), а уравнения (281) и (282) дают
(320)
(e-3*+vQ( а)_ e = 4 ((Oi з Svfi 2 - со, 2 б\|з, з),
б (е^-^Х) = — 4e2+-2vX 6i|j + 2S,
(321)
(322)
где
X = COjaCOjttl SeP = Qj2COj3 - Qj3COl2.
(323)
Рассмотрим теперь линеаризацию уравнения R11 (ср. с уравнением (6) гл. 6)
Это уравнение также следует прямо из линеаризованного уравнения (267).
Умножая затем уравнение (325) на 8ф и интегрируя по всему трехмерному пространству вне горизонта, находим после интегрирования по частям
j j j И 6ifc a бір, a + 2eW-*X (бф)2 - SeP бф] dx = О, (326)
причем подстановка обращается в нуль вследствие условий (316 и требования (которое следует из уравнения (325)), чтобы
Можно записать уравнение (326) в более симметричном виде, заметив, что
где при переходе от первой строчки ко второй было выполнено интегрирование по частям, при переходе от второй строчки к третьей было использовано уравнение (321), а при переходе от третьей строчки к четвертой было выполнено интегрирование по частям. В обоих случаях подстановки обращались в нуль вследствие условий (316) и (327), в силу убывания функции (о на бесконечности как г3 и требования гладкости функции Qe~2^ на горизонте (последнее следует из уравнений (316) и (318)). Используя оконча-
Иф.в),* + 1^-vX = 0.
С помощью уравнений (314) и (322) получаем
(ер 6ф, a), a = 2e^~vX бф - SeP.
(324)
(325)
б\|) = О (г-1) при Г —>- OO.
(327)
jjj SeP 6tp dx = -f j jj (Qj2CO1 з — Q,3®,a) 6lNx =
Ix =
(328)
-HV4 jjj ^31M-vQjaQj a dx,
114. Вариационный метод и устойчивость решений
323
тельный результат преобразования (328), мы можем переписать уравнение (326) в виде
j j J (ер бф, а бф, а "f“ 2e34>-vX (бф)2 _ V46-3^Q, ^ J dx = 0. (329)
Для доказательства невозможности квазистационарной деформации и справедливости теоремы Картера подынтегральное выражение в уравнении (329) нужно преобразовать к положительно определенной форме. Нам понадобятся следующие две леммы.
ЛЕММА 1.
<9,2®, 3 - Q, 3®.2 =
= є2* [(e-^Q), а со, з - (e-^Q), з®, 2] f 2Q (\|з, 2®, з - Ф, 3®, 2), (330)
ЛЕММА 2.
jjj [1Ael5 (Qe~n), a (Qe-2't), a + e-3'l,+vQ2\l)I a\|), a - 1Ae-3l^vQ1 aQ, a +
+ 1Ae-PQ2XJdx = O. (331)
Лемма I доказывается непосредственной проверкой. Для доказательства же леммы 2 умножим уравнение (324) на функцию V2Q2e-4^ и проинтегрируем по всему трехмерному пространству вне горизонта. После интегрирования по частям первого члена в подынтегральном выражении получаем
