Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
V1-E/ = ViS/ - с??т, . (182)
57. Метрика в форме Керра—Шилда
33
где коэффициенты Cl) обладают всеми свойствами симметричной связности. Например, должно выполняться соотношение
ViTki = VtT/ - CTiTk + CklmTmi (183)
для тензора Ti типа (1,1). С помощью этих формул можно найти связь тензоров Римана, вычисленных для каждой из двух метрик (использовав при этом тождество Риччи):
RiikmIm = 2Vu Vblfe = 2Vft (VnIk - Cf] klm) -
- 2С?,л (Vnife - CmkIm) - 2Cl и (VnIn - Cl Лт). (184)
После некоторых упрощений (используя симметрию коэффициентов CTj по индексам і и /) получаем соотношение
Riikm = Rifk1 - WiiCfi k + 2Cl {ic;j я. (185)
Соответствующее выражение для тензоров Риччи получается сверткой:
Rik — Rik — 2V[tC^] k -j- 2Cl [іС%] п. (186)
При исследовании метрики Керра—Шилда (181) мы будем отождествлять нештрихованную и штрихованную метрики в предыдущих формулах с метриками
rIf; и Sij — rI и + Uh * (187)
где, как уже говорилось, Ii — изотропный вектор относительно метрики Tjl-J-, т. е.
Iі = Т|% IiIi = O. (188)
Вводя определение
g4 = ці і — /*//, (189)
находим, что
SiiSik = Wi - Щ Ы + IjIk) = • (190)
Другими словами, определенный таким образом тензор g*l действительно является контравариантной формой тензора gtj. Более того,
gal. = (у/ -W) Ij = /'. (191)
Следовательно, индекс изотропного вектора может подниматься и опускаться как с помощью тензора ц, так и тензора g. Отсюда следует, что вектор 1 является изотропным и по отношению к метрике g. (Однако в общем случае поднятие и опускание осуществляется только метрикой TJ.)
2 Чандрасекар С., т. 2
34
Глава 6. Метрика Keppa
Ниже МЫ получим явное выражение ДЛЯ СВЯЗНОСТИ С//. Поскольку оператор V- определен через символы Кристоффеля, вычисленные на основе метрики
Vigfk = 0. (192)
Ho это же выражение можно вычислить и с помощью уравнения (183). Имеем
Vjgik - Vigjk Cijgmk Cikgjm = 0* (193)
С другой стороны,
Vigjk = Vi (TlJk + Ijth) = Vi (IjIk). (194)
Следовательно,
Vt- (Ijh) = CTjgmk + CTkgjm• (195)
Из последнего выражения получаем (точно так же, как получаются выражения для символов Кристоффеля из условия равенства нулю ковариантной производной метрического тензора)
CTjgmk = V2 [V/ (Ijlk) + V; (Ikh) - Vk (Iilj)I (196)
Свертывая последнее соотношение с тензором gkn, имеем (вслед-
ствие соотношения (190))
Cli = V2 (ч‘" - IkIn) Wi (Ijk) + V/ (IlIk) - Vk (Iili)I (197)
Это соотношение можно несколько упростить, если вспомнить, что вектор 1 изотропный:
Cli = V2 [V,- (IiIn) + Vi (Ып) - Vn (Iili) + nk Vk (Iili)]. (198)
Свертывая уравнение (198) по индексам п и /, получаем
CtJn = 0. (199)
Подобным же образом находим
InCli = - 1I2In Vn (Iili) = - V2 (hln VnIi + IiIn VnIi), (200)
IiClj = V2 (lnl‘ Vilj + IjIi Viln)- (201)
Определив вектор X соотношением
Xj = Iі ViIj, (202)
можно переписать соотношения (200) и (201) следующим образом: InCli = - V2 (IiXi + IjXl), IiCli = + V2 (InXl + IiXn). (203) Кроме того, должно выполняться равенство
HXj = 0. (204)
57. Метрика в форме Керра—Шилда
35
Предположим теперь, ЧТО метрика gtj является решением уравнений Эйнштейна в пустоте. Тогда тензор Риччи Rfii должен быть равен нулю. Ho тензор Rij также равен нулю, поскольку метрика по предположению есть метрика плоского пространства-времени. Поэтому вследствие уравнения (186) должны выполняться следующие равенства:
О = - 2V[jCm] ft + 2CnkliCZ] п = - ViCZk + VmCTk + CnkiCtn -
- CnkmCTn = VmCTk - CnkmCTn, (205)
где для получения окончательного ответа было использовано уравнение (199). Свертывая теперь уравнение (205) с тензором IHk и используя соотношения (203) и (204), получаем
O = -Ik [Vm (I1CTk) - CTk VJi) + (IkCnkm) (I1CTn) =
— — lUlk Vm (ImXjl + XmIk) + 1U (ImXt -f- I1Xm) SjmIi +
+ V4 (InXm + tmX*) (/-Xn + InXm) - - lUlkIrn VmXfe +
+ 1UXiIfn VmIi = + 1UXhIfn Vm/* + 1UXiXi = X1X'. (206)
Следовательно, X — изотропный вектор, и, поскольку он также ортогонален изотропному вектору 1, они должны быть пропорциональны. Поэтому можно написать
Xj- = М, (207)
где ф — некоторая функция пропорциональности. В силу определения (202) вектора X7- имеем
X1 = ItViIj = Vi. (208)
Таким образом, вектор 1 определяет конгруэнцию изотропных геодезических. Наконец, объединяя уравнения (203) и (207), получаем соотношения
InCnij = -фЦ,, IiCnij = +</>/%• (209)
Вернемся теперь к уравнению (185) и свернем его с тензором I1 Im- Поскольку тензор Rijk равен нулю (вследствие того что метрика по предположению является метрикой плоского пространства-времени), имеем
IiImRiikm = IiIm (V)CTk - ViCTk + CnkiCfn - CnkjCTn). (210)
Легко убедиться, что все члены в правой части, кроме первого, равны нулю вследствие уравнений (209). Следовательно,
IiImRiiT = IiL ViCTk = Iі [V/ (ImCTk) - CTk ViIm] = = -Iі Vi (фЫк) - CTkfL= - (Iі Vit -T ?) Ulk, (211)
2*
36
Глава 6. Метрика Keppa
где для получения окончательного ответа мы снова воспользовались уравнениями (209). Поскольку индекс вектора 1 может подниматься и опускаться и метрикой ц, и метрикой g, полученное соотношение можно переписать в следующем виде:
