Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 109

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 126 >> Следующая


тогда как левая часть дает:

{e3*-M.2+M.»-v 2 _ оо) ^ 2 (з g^ _ g^2 б[Аз _ gv)]^ 2

_|_ 1^+^2-^3-V ^gco з — <7з, оо) з (3 —f- б(л2 — биз— 6v)]},3. (295)

Подставляя теперь вместо величин в квадратных скобках в уравнении (295) выражения (279) и (280), получаем

(-Q9 3 + зх), 2 + (Q, 2 + e3^-v+^-^3(0} 2Х), з; (296)

а это выражение, очевидно, сводится к уравнению (294). Таким образом, компонента (0,1) уравнения не дает нам новой информации и выражает тождество Бианки для линеаризованных уравнений.

Рассмотрим далее компоненту (0,0) уравнения поля (уравнение (262))

[гр, 22 + гр, 21р, 2 + Из, 22 + (ф + Из), 2 (Из “ Иг), 2І +

-J- еМ.*-Из {гр:зз + 1р:з1р:з + гр:з[е-^ — Из:з] +

+ [в^ (^):3']: 3'} = -V/^2V (e^Qlo + ^^Сзо) +

+ 1/2e2^-2v+^-^3C0,2co, зх + о (x2). (297)

С помощью уравнения (282) находим, что линеаризация правой части дает следующее выражение:

1Ue2^2v [4Х бгр -J- F8 (Из—[X2)]-V25—1/2^“2v'f^2~M'3w,20),3X- (298)

Линеаризуя левую часть, мы должны прежде всего заменить определенную формулой (247) производную эквивалентной частной производной. В результате получаем

^3-М-2 {[бгр, 22 + 2^Р, 2 бір,2 + ^Из, 22 “Ь

4~ (бгр -J- 6[Х3), 2 ([X3 — [X2), 2 + (yP -f" Из), 2 б (Из ~ Иг), 2] +

+ S (Из — И2) IyPi 22 + yP, 2^, 2 + Из, + (yP + Из), 2 (Из — Иг), 2І} Н~

+ ^2-дз {2 — 3} — V4^2v [АХ бгр + Yb ([X3 - |га)] =

= — V2S — V2W, 2С0, ^2-^3 {^ 23

+ X, 2 (yP + 2и2 — Из), з + X, з (1I^ ~т И2), г + X [2 (yP + Иг), 23 +

+ 2гр, 2гр, з -J- (гр + И2), 2 (Иг ~ Из), з + (yP + И2), з (Иг — Из), 2] I • (299)

Уравнение (299) в сочетании с уравнениями начальных условий (273) и (274) приводит к новому важному соотношению. Действительно, из этих последних уравнений имеем

V2 [—Qco, з + e2v~2^2 (*4>-v+3n,-ii,x)f 3], а +

+ V2 [ + Qco, 2 + e2v~2^ (е^+^+^х), 2], 3 =
114. Вариационный метод и устойчивость решений

319

= [(бір + 6ц3), 2 + (^ - V), 2 6\f + Из, 2б (Из - Иг) -

-Vi2Sh3 - ^,2би2]1,2-Ы^2_,1,+|5 [2«-3]|. (300)

Левая часть этого уравнения приводится к виду

— V2SeP -f- V2 [е2^~2^ 2 +

+ V2 [e2v~2^ И^+^+^хЬЬ- (301)

Вычисляя правую часть уравнения (300), после некоторых значительных упрощений с точностью до общего множителя е$ получаем члены левой части уравнения (299). Приходим, таким образом, к следующему равенству:

<?Р+И2-Из [_ l/r2e2^-2v(l)( 2(0> 3% Ц_ jX) 23 .Jr у,' 2 _|_ 2Ji2 - Из), 3 +

+ Х,з (1I5 + Иг), 2 “Ь X [2 ('I5 + Иг), гз + 2ф, 2^,з + (^ + Иг), г (Иг — Ия),з +

+ (Ф + Иг),з (Иг - Из), г]}] = V2 [e2v~2^ (e+-v+3»l*-‘‘*x).s]. 2 +

+ V2 Ie2v-2^ (еФ-'Н-и.+и.^ 2], з. (302)

Это важное уравнение для функции %• оно выражает тождество Бианки, но на этот раз дает нетривиальную информацию.

в. Линеаризация остальных уравнений поля. Ниже мы выпишем результат линеаризации оставшихся уравнений поля

е^з-М-2 I [6v, 22 -f- 2v, 2 8v, 2 + 8.Ц3, 22 + (^V + 6}?), 2 ([*3 ~ Щ), 2 “Ь

+ Ov + М-з), 2 S (^3 — [X2), 2] + б ([X3 — ^2) [v, 22 ~Ь 2V, 2 + ^3, 2 +

+ (v + М-з), 2 ([^3 — М'г), г]1 + е^г-^з I 2 ч-> 3 } =

= e~2v+^+^8 ([X3 + [х2)} 00 + 3/2S - V4 [4Х бф + 276 ([i3 - [i2)] +

+ [V2O), 2<*>, зЄ2^~2Ч + {X, 23 + X, 2 (v + 2[X2 - [I3), 3 +

+ X, 3 (v + ^2), 2 + X [2 (v + ^2), 23 + 2v, 2V, з + (V + [^2), 2 (н^2-М-з), 3 +

+ (v + ^2),3 (m^2 ~ ^3),2]}] (6Gu = 0), (303) e^3-ll2 [6^ 22 + 2p, 26^,2 + ((? — Щ), 2 бр, 2] -f~ ^2-^3 [2 3] =

_ ^-2v+^2+m^3 [2 8і|^ 00 8 ([^з + М'г), oo] — e^3~l^2|3, 26 ((? — ^2), 2 4~

+ 3S ([I3 - [i2)} 3 - (2er-tw -f 1I2C2^-2vY) 6 ([I3 - [X2) +

+ e^2~^A IP, 2X1 з + P, зХ, 2 + X 12|3,23 + 2|3,2p>3 -f Pj 2 ((? — М-з), з h Ч- P, з (М'г — M's), 2] I [6 (G33-f-G22) = 0], (304)

g№i~~ X

X [Sp, 22 + 2»)), 2 2 + 2v, 2 2 2 (Из Иг), г—P, г$ (Из Ь Иг), г! ’

— ЄД2-М.3 [2^3]= 2е~ЮЬ ((із — Иг) — e-2v+^+H’6 (jx3 _ (X2)i оо _

- V2C^-Zv [4Y 8ф + Х8 (из - Иг)1 + D-

- [— Ч г®, S^2v X + Р, гХ, з - Р, зХ, a + X [2р, гз + 2ф, аф, з +
320

Глава 11. Другие решения, альтернативные методы

Ч" 2^, 3 Р, 2 ((? H- 1?), 3 ~ Р, 3 (М-2 ~"Ь Из), 2І [б (G33 — G22) — 0],

(305)

6Р, 23 — бр, 2^2 , 3 6Р, 3|Х3 } 2 Р, 2 б(Я2 , 3

— р, 3 б|Х3 , 2 + tI5, 2 бф, 3 + *|\ 3 6^, 2 + V, 2 6V} 3 “Г Vj 3 6v, 2 =

= — 2e2^“2vco 20), з б-ф + V2e-2v 00 +

-(- (е^3~^2Qi 20), 2 — e'l2~~^3Qi 3) 1/2e2^—2v+2^2—^3 (O)1 3)2 ^ _|_

+ X [Р, 22 ~ Р, 2 (^2 + Из), 2 + yPi 21^, 2 + V, 2V, 2І (б/?23 = 0), (306)

где в уравнениях (304) и (305) мы использовали следующие сокращения:

U = [ЄМ..-И2 (Pt 2Из , 2 + ф, 2V, 2) + ^2-^3 (Р, зМ2 , 3 + ^ 8V, 3)L

W7 = [Є»*-»* (р, 2[X3 2 + ф, 2V 3) — ^2-^3 (Р, 3^2 , 3 + Ф, 3% з)]-

Отметим также, что при выводе уравнений (304) и (305) были использованы следующие два уравнения, которые справедливы в стационарном случае (ср. с уравнениями (14) и (16) гл. 6):

[еИз-Д2 (е|3)} 2]} 2 [в!Х,—IX. (^ 3]} з = 0,

[^з-м-2 {е$\ 2], 2 — И2_м^3 (ер), з], з = 2И7 + V2^-vF.

На этом формальные выкладки заканчиваются.

г. Уравнения, описывающие квазистационарные деформации; теорема Картера. Для иллюстрации того, каким целям послужат выведенные нами линеаризованные уравнения, рассмотрим предельный случай бесконечно медленных деформаций, когда система (подвергаемая деформации) находится всечвремя в состоянии равновесия. Такие деформации называются квазистационарными или адиабатическими. Квазистационарные деформации полезны при определении возможности (или невозможности) появления точки бифуркации при переходе от одной стационарной системы к другой (последовательность таких стационарных систем задается некоторым параметром). Теорема Картера гарантирует, что в семействе Керра (с параметром а) такие бифуркации не появляются. Мы сейчас покажем, как строится доказательство теоремы Картера, рассмотрев квазистационарные деформации стационарных аксиально-симметричных пространственно-временных многообразий, внешние по отношению к горизонту событий черной дыры.
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed