Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала уравнения начальных условий, потому что они играют основную роль во всей теории. Уравнения начальных условий — это компоненты (4,2), (4,3), (1,2) и (1,3) уравнений поля.
Рассмотрим компоненту (4,2) (уравнение (257)). Помня, что в соответствии с условием (269)
Q23 = ^2, 34 ЯЪу 24> (270)
мы можем проинтегрировать уравнение (257) по х4 и в резуль тате получим
2 2 (бі|? — S(X2) — SlpV, 2 “Ь Sjl3, 2 “Ь
4~ И-З, 26(^3 — (X2) — V, 2 6(? ~\~ 2^3 (?2, 3 — <7з, 2) 3 ==
= V2^2-Sn3 ^ з х i/2ev-M,3 (f Vt-Vs-V1) 3. (271)
Вводя определение
Q = (q2f 3 _ q3f 2), (272)
мы можем переписать уравнение (271) следующим образом: ^3-H2+із [5^ 2 _|_ (ф _ v)? 2 ц _|_ б(л3,2 - (v - (X3)j 2 6(? -
— (г|) + (X3)j2 6(х2] + V2Qcdj 3 - г12е2^2^ (^-v-h^-h.j^ 3 = о, (273)
где |3 = of) + V (ср. с уравнением (11) гл. 6). Аналогично компонента (4,3) уравнения дает
е^-из+із [6ip,3 + (ip — v), з бір + 6(х2, з — (v — (а2),з S|i2 —
— (ip + (Lt2), з 8(X3) — 1I2Qd),2 — 1/2^2v_2^3 (e1*,-v+*A»+ii3X)j 2 = 0. (274)
Альтернативные формы записи уравнений (273) и (274), которые окажутся полезными, следующие:
ем-3-ix* 2 _ (еэ^ 2 2 _ 2^v, 2 Sip +
+ е$ (ip + (X3), 3 6 ((X3 (X3)] + V2Qcoj3 - V2^2v“2^2 (е^+3^-^), з = 0,
(275)
316
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
[(еР Щ з _ (ЄР); з 6ц2 + еР 6{і2> з - 2e$Vt 3 6v|) + <?Р (\|3 + Ji2), 3 X X б (ц-2 — Из)] — V2Qto, 2 — V2<?2v~2113 (^’-'’+^+^х), а — 0. (276)
Рассмотрим далее компоненту (1,2) (уравнение (259)) и пре-небрежем членами, явно имеющими второй порядок малости. Получим в результате
(^-^2-^3-fvQ23)}3_L(^—m^3-vq02))0 = +eW+v2-^-vQml(i0i (277)
где мы снова вернулись к переменной X0 (см. определения (245)). Уравнение (277) интегрируется, и мы получаем в силу уравнений (270) и (272)
Q, 3 + e34,-|l2+^-v [(6(0,2 - q2t оо) + (0,2 (3 6l(5 - 6ц2 + бц3 - 6v)] =
_ ^+^2-^3-Vq)^ ^ (278)
или иначе
Scof 2 — <72, 00 = —0), 2 (3 бф — 6v — SfX2 -f 8[Х3) —
_ e-3^+v+H2-H3Q} з _j_ е2ц2-2м,в(0> ^ (279)
Аналогично рассматривается и компонента (1,3) уравнения поля. Имеем
8(0,3 - <7з, оо=—0),з (3 Svl^ — 6v -h 8[X2 6jx3) + e-W-v-ii,+Ii3Qj 2 _|_ ^ ^
(280)
Уравнения (279) и (280) дают начальные условия для функции со, но они служат и динамическим уравнением для функции Q. Действительно, условие интегрируемости для функции CO дает для функции Q неоднородное волновое уравнение
(е~~H3Q^ 3 (g—3\|)+v—M'2+^sQ^ 2 —
= e~W+'V+V2+1^3Qj 00 _j_ (^2ц2-2ц3(0> зХ)^ з _ (O)j 2 _
— [CO, 2 (3 8\|) — 6v — 8\i2 ~f~ S(X3)Jj з -\- [(Oj з (3 8\|? 6v -j- Sjx2 Sjx3)]? 2.
(281)
Это уравнение описывает гравитационное излучение.
Докажем два соотношения, которые следуют из уравнений (279) и (280). и которые окажутся важными для линеаризации оставшихся уравнений поля.
ЛЕММА.
б [e2*~2v Ie^Q202 + e^Qls)} =
= —e2^~2v[4X 8\|) -j- Y8 ([I3—[X2)] + 2S + 4e2^-2v~^3+^wj2G),3X, (282) б [e2*-2v - e^’QSa)] =
= —e2*-2v [4Гбг|з + Хб(и3 - R2)] + 2D, (283)
114. Вариационный метод и устойчивость решений
317
где
X = ((O1 а)2 _[_ (ю> з)2> (284)
F = еііг-из 2)2 _ ец2-ц3 ^ зд (285)
S = е~Р (Q, 2со,3 — Q,3со, 2), D =—е-Р (Qi2Wi3+ Qj3COi2). (286) Доказательство. Очевидно, что
б (е2Ф-2'’+^3-IbQ22) =
= e2*-2v+'**-i*« [2(0,2 (бсо, 2 - <72, оо) + (®, 2)2 б (2ф - 2v + ц3 - I**)],
(287)
и, воспользовавшись уравнением (279), получаем
б (ea*_2v+|i*-,1*Qo2) = _ [4 бф + 6 Gi3 — Ji2)] (CO, 2)2 -
— 2e~^-vQy За»( 2 + 2e2^-2v-Jt3+Jt2coi 2со, зХ- (288)
Аналогично
б (e2,t"2v+U2“tlsQo3) = — [4 бф - б (Ji3 - (I2)] (о), з)2 +
+ 2?-^-vQ, 2е0, з + 2e2^-2v-^3+^(o 2о)} зХ- (289)
Складывая и вычитая эти два уравнения, получаем требуемые соотношения.
Наконец, отметим еще одно соотношение, которое следует из уравнений (279) и (280):
со, з (бсо, 2 q2j оо) + 0), 2 (бсо з — q3i 0о) = —2<о, 2<о, 3 (3 бір — 6v) +
_|_ е-зги-v (^n3-Ii2Qj 2(0> 2 — ^2-H3Qj 3(0j з) -f (290)
б. Тождества Бианки. Нужно заметить, что если пренебречь величинами второго порядка малости, то выражения для Rn и G44, которые задаются уравнениями (261) и (262), не будут содержать производные по времени. Они напоминают уравнения начальных условий, однако их статус другой. Чтобы убедиться в этом, вернемся к переменной х° в компоненте (О, I) уравнения поля:
(e^-^+^-vQQ2y 2 (^+IXa-Ixe-VQ03). з = ^+Ii1-Ii3-VQ033ti 2. (291)
С точностью до первого порядка по % имеем:
(^+H2-H3-VQ03); 3 = [e^*-^-v(Q03 ~ XQ02)]: з =
= (^+^-^-VQ03): 3 — (e3^P+^-^-vx(0,2),3 + 0 (x2) =
= (е^+^-^з--VQ03^ 3 _ ^ ^+Ii2-Ii3-Vc0j Д 2 __
_ (^+Ii2-H3-VXco 2), з + O (х2). (292)
Следовательно, линеаризованное уравнение (291) имеет вид
б [ (в3^—^«+^з—vQ02), 2 + (e3^+^-ii3-vQo3^ 3] =
= X^*0,3e3^+^~^~v + х (^+^2-^3^(0,3),2 + (^+^2_^3_vxco,2),з- (293)
318
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
Вычисляя правую часть этого уравнения, находим
^+H2-Hs-V 123 + X, 2«, 3 + X, зО), 2 +
+ X Ico, 2 (3^ — V -J- Ii2 — Из), з + о)}3 (Згр -J- Иг — Из ~ vX г]}> (294)
