Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
V + 8v, «ф + бор, со + Sco, Ji2 + SfLt2, Ji3 + SfLt3. (242)
Вдобавок могут быть не равными нулю в первом порядке по теории возмущений функции q2 и q3) причем они должны подчиняться ограничениям, указанным в гл. 2 (уравнение (42)). Однако, как было показано Фридманом и Шутцем, из соображений устойчивости важно, чтобы приращение первого порядка функции (jх2 + + 1?) было равно нулю, т. е. мы должны гарантировать равенство
S (|х2 + Jli3) = 0. (243)
Очевидно, для достижения этой цели нужно рассмотреть более общую, чем (241), метрику. Поэтому обобщим метрику (241) таким образом, чтобы можно было наложить ограничения (243):
ds2 = e2v (d/)2 — е2^ (dcp — со dt — q2 dx2 — q3 dx3)2 --
— e2^2 (dx2 -)- x dx3)2 — e2^3 (dx3)2, (244)
где x — еще одна функция переменных t, х2 и х3. Эта метрика более общего вида, чем рассматривавшаяся в § 13 гл. 2, потому что
310
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
есть добавочная функция %, но она менее общая в том смысле, что теперь метрические функции не зависят от координаты ср.
При вычислении компонент тензора Римана для метрики вида (244) в исчислении Картана мы примем (как в § 13 гл. 2) комплексные обозначения (уравнение (44) гл. 2)
cU = —i ck4, dt = /34, V = Jx4, a) = iqA (245)
и будем использовать вместо базисных форм (46) гл. 2 следующие базисные 1-формы:
со1 =^dcp — S^dxi4 dcp— Qa^xa =
со2 = е(dx2 -f % dx3), dx2 = е~^2со2 — со3, (246)
о3 = gM-з dx3, dx3 = ?_^чо3,
0)4 _ ец4 dx4 =
где (как и в § 13 гл. 2) заглавные латинские индексы пробегают значения 2, 3 и 4.
Большая часть результатов анализа, проведенного в § 13 гл. 2, может быть использована и в рассматриваемом случае, если определить производные з и /; г функции f (х2, X3, X4) по индексу 3 следующими равенствами:
/:3=/,3- if, 2- /: 3' = /, 3 - (%f), 2 = /: 3 ~ 1, 2/- (247)
(Заметим, что производная f- 3 удовлетворяет правилу Лейбница, а производная 3- — нет.) Таким образом, вместо уравнений (60) гл. 2 имеем теперь
©і = j®1 + Q23W3 +
- СОз = 4- + '/26^^^32(02,
©4 = ЄГ»*У. 4® + 4-
CO2 = - (ей2): З'® -
— ?~^2|13, 2С03 — 72^2-^3"^4?, 4е04»
СО4 = — V2^ ^4Q34C0^ -j- Є ^3, 4® — ^ И'4: ЗСО -f-
+ 72^2"Дз"Д4%, 4со2,
СО2 = — V2^ ^4Q42C0^ -f- е 1^4> 2С04 — е ^4|Л2, 4С0 —
— V2^2~^-^X, 4о)3, (248)
где (ср. с уравнением (58) гл. 2)
Qab ~ Qa, в ~ Qb, л> (249)
Q34 — Q34 — XQ24 = — ?43- (250)
114. Вариационный метод и устойчивость решений 311
Вместо уравнений (62) и (63) гл. 2 получаем d (Fco1) = е-'Ф-м-г (Fe^)t 2 со2 Д со1 -f (Fe^)l 3 со3 Д со1 -)—
_|_ я-'Ф-Мч (Fe^)i 4 со4 Д со1 •+¦ Fe^ Д со3 -[-
+ e-^3-^4Q34co3 Д со4 + <r^-^Q42cD4 Д со2],
d (Fco2) — ?-^2-Дз (F^2)1 3' CO3 Д (О2 -j- (Fe^2)f 4 О)4 Д (О2 -f-
-}- 4(О4 Д (О3,
d (Fco3) = ?-^2"^з (F^j), 2 0)2 Д 0)3 + ?-^"^4 (F^i)j 4 CO4 Д со3,
d (Fco4) = ^“^2-^4 (F^4)j 2 со2 Д со4 + в_^з-^4 (Fe^4); 3 со3 Д со4. (251)
Компоненты тензора Римана мы можем теперь вычислить
с помощью второго картанова уравнения структуры. Находим
— #1212 = — (еФ-и*^ 2), 2 — ?~2^3~^2 (е»*): 3' г|):3 —
- <r**4i2t 4г|) 4 + (e-^QIз + e-^Qiy (252а)
— #1313 = - е-Ъ-V* з); з — <T2^\|), 2^3, 2 ~
- е-^хр, 4Из, 4 + 7/^3 (e^Qlo + ^4?), (2526)
— #1414 = - Є-*"1*4 (в*-!*^, 4), 4 - е-2^, 2^4, 2 -
- е^. з|і4: 3 4- V4^2li4 (^2Q« f ?-2**-?), (252в)
— #2323 = — Це-І^з (е»*): з ]: з- + (<^-(Ь|Л,3і г), 2І ~
- <г2^ц2. 4ц3> 4 - V^2^2^!, + V4 4)2. (252г)
— #2424 = - е-^-^ [(^С^|Х2, 4), 4 + (^‘"**^4, 2), 2] —
_ e-V-г-2(1з (<?(*.)_ з,^4 з _ 3/^-2^-211^ _|_ 1Д (еи2-ц3-ц,% ^2( (252д)
— #3434 - - Ke^fl8, 4), 4 + з): з] -
- е“2,>з. 2(4 2 ~ 3Ue2^-2lltQ2Si - 3Z4 (^^х, 4)2, (252е)
— #1213 = — е-Ъ-»* (e’t-^^i 2). з 4- ?-(4-(^. 3(Л3( 2 -L
_|_ '/^-^-^-^QmQm - >/2^-^-2^i|), 4х, 4 (252ж)
“ #1214 = - (еЧ^*^ 4), 2 + е-»*-^, 2Ц2, 4 +
+ V4g2*-i*.-2i*,-i*.Q32Q31 _|_ 1/^1*,-2ц,-|*4ф. з1 4 (252з)
— #1314 = — (е^-^, 4); з -f 3^3i 4 -j-
-I- V4e2*-2|*.-|*.-I**QMQ24 + 2Х, 4. (252и)
#1223 = 1Z[Q23, 2 ~\~ Q23 (З<|3 (X2 Цз), 2] “Ь
+ 4 — X, 4, (252к)
#1224 — !/аб^-2^2-1*4 [Q24, 2 "Ь ^24 (Ц М-2 Ш), 2І “Ь
+ !/2^-^.-2(1.-^4(734 И2): 3' + ^’^’“^ФзгХ, 4. (252л)
312 Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
— #1334 = [Q34: 3 + <?34 (34’ - Из — H4): ЗІ +
_|_ i/2<^-2^-^Q24n3) 2 + ‘Д^'^'^ФгзХ, 4. (252м)
— #1332 = 1/2e^"~2U3_M^a [Q32 :3 + Q32 (Зф — |^2 — Из):з] +
_|_ 1/2^-^=-^^42^3,4 - V4**+1*.-2*-2^Q43X, 4, (252н)
#1442 = V2e^ ^2-2^4 [Q42, 4 "1“ Q42 (Зф Иа И4), 4І "Ь
+ V2^8-2tljQ32Hi: з - 4, (252о)
— #1443 = [Q43, 4 4- Q43 (З\|3 - Из - JA1), 4І +
4- V^-s^-^Qa3^4,2 + Vi^3-2tllQ42X, 4. (252п)
— #2334 = [Из, 24 ~Ь Из, 2 (Из Иг), 4 Из, 4Иі, 2І
— 3/llC^~^2~2^3~^4Q2sQ3l — l/2e~V2-V* 4);3' —
— '/2е~2^-»* (е^у.з- х, 4. (252р)
— #3224 = е~tt^ti3 (^"^Иг, 4): 3' — Є-(І2-^-^4 (e^2):3- Из, 4 “
_ 3/4^-2^-^-^^24 - V2^2'»*° (е^^-^х, 4), 2 - V2^-fl4H3, аХ, 4.
(252с)
— #3412 = е-^з-Н4 (*?-^+^ 2):3 _ е-и*-и»ц4.3и3, 2 —
- V^-^-^-^Qa^a 4- V2^ tt2 ti4 (^2-^»-^4Х, 4),4 +
