Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
JJ [U' (r[, Q1)]2 г;2 sin Q1 d0j dcp -> 0. (239)
Таким образом, область внутри поверхности г[ = 0 очень похожа на область внутри горизонта событий экстремальной черной дыры Рейсснера — Нордстрема. В частности, времениподобная траектория, пересекающая изотропную поверхность гх = 0, может затем следовать двумя путями: или она попадет на поверхность U' — 0 и там оборвется, или она обогнет эту поверхность и попадет в совершенно новый мир, снова пересекая поверхность гх ~ = 0 (рис. 47).
Все предыдущие замечания, которые относились к массе M1, расположенной в точке ги равно применимы и к массе M2 в точке г2. И в общем случае, когда U определяется уравнением (223), каждая точка гг представляет собой изотропную поверхность площадью 4яМ?, а карта (х, у, z) может быть расширена так, чтобы описывать область внутри этих изотропных поверхностей, которые окружают истинные сингулярности. Во всех случаях можно построить максимальное аналитическое продолжение многообразия. Мы не будем более вдаваться в этот вопрос,
308
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
но уже и сейчас ясно, что нам удалось построить максимально аналитически расширенное многообразие, описываемое решением (220) с функцией U, задаваемой уравнением (223), и представляющее семейство N экстремальных черных дыр Рейсснера — Нордстрема.
До сих пор наше исследование метрики (220) ограничивалось рассмотрением простейшего решения (223) уравнения Лапласа. Возможно, на данном этапе изложения у читателя возникает желание рассмотреть подобные суперпозиции других более общих решений уравнения Лапласа. Однако, Хартль и Хокинг показали, что во всех других случаях пространство-время обладает голыми сингулярностями. Именно поэтому другие решения не представляют столь большого интереса, как рассмотренные выше. Te же замечания относятся и к стационарному обобщению статического решения Мажумдара — Папапетру, найденному Перешем и Из-раэлем и Уилсоном.
114. Вариационный метод и устойчивость решений для черных дыр
При исследовании решений Шварцшильда и Керра, описывающих черные дыры, широко использовался алгебраически специальный характер этих метрик, что особенно просто учитывается в формализме Ньюмена — Пенроуза. Ho успех, достигнутый благодаря использованию формализма Ньюмена — Пенроуза, — разделение переменных в основных уравнениях математической физики, описывающих возмущения рассмотренных нами решений, раскрытие аналитического богатства математической теории черных дыр — несколько затемняет их физическую сущность, которая скрывается под покровом геометрии. Физическая природа черных дыр существенно связана с наличием гладкого горизонта событий в асимптотически плоском пространстве-времени, скрывающего сингулярность. И следует помнить, что единственность решения Керра не есть следствие его алгебраически специального характера, а скорее следствие этой физической природы, потому что алгебраически специальный характер решения Керра не имеет никакого отношения к аргументации, на которой основаны теоремы Картера — Робинсона. Кроме того, уравнения формализма Ньюмена — Пенроуза оказались чрезвычайно неподходящими для решения важной физической задачи об устойчивости пространства-времени Керра. В этом последнем параграфе книги мы опишем подход к решению подобных физических задач, который в некоторых существенных аспектах отличается от методов, описанных в книге.
Метод решения, который мы собираемся описать здесь, состоит в исследовании возмущений путем непосредственной линеаризации уравнений Эйнштейна около стационарного решения и форму-
114. Вариационный метод и устойчивость решений
309
лировки вариационного принципа, из которого вытекают решения уравнений, описывающих возмущения. Этот достаточно распространенный в других областях математической физики метод должен включать в себя некоторые черты, присущие только общей теории относительности. Сюда входят выбор калибровки, роль уравнений, задающих начальные условия, и тождеств Бианки. Мы познакомим читателя с этими проблемами. Мы ограничимся, однако, лишь возмущениями аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна в пустоте, сохраняющими аксиальную симметрию (хотя метод имеет более широкое применение).
Рассмотрим стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна, метрика которого имеет стандартный вид:
ds2 = e2v (dt)2 — е2^ (dcp — cod/)2 —
— е(dx2)2 — е2^ (dx3)2, (240)
причем в этой метрике по условию уже использован калибровочный произвол в выборе функций Ji2.и Jli3. Как было показано в § 12 гл. 2, нестационарная метрика, достаточная для описания аксиально-симметричных возмущений пространства-времени с метрикой (240), имеет следующий вид (уравнение (38) гл. 2):
ds2 = e2v (dt)2 — е2^ (dcp — q2dx2 — ^dx3 — cod/)2 —
— е2^ (dx2)2 — е2мз (dx3)2, (241)
где уже нельзя наложить координатное условие на функции Ji2 и Ji3. Другими словами, возмущение метрики (240), сохраняющее аксиальную симметрию, приводит к появлению у всех функций v, ¦ф, со, Ji2 и Ji3 приращений первого порядка, так что эти функции становятся равными:
