Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
4TiQi = [ dх-(F^ (-gy а = f dSaF-o (-gy/2 =
Vi
= jd SaU2Fau= \dSaU2(U~'),a = ~ J-A-/-^_W = 4nAf,.
діл dVt dVt X ' Ti '
(226)
Таким образом, в принятых нами единицах заряд и масса источника, расположенного в точке (xt, уІУ Zi), равны. Поскольку мы
* Это утверждение следует из одного из уравнений Максвелла:
(Fa0 (-g)>/2),a = J°(-g)U2-
113. Решение уравнений Эйнштейна—Максвелла
305
выбрали А положительным (уравнение (222)), все заряды Qi ( = Mi) положительны. Если бы мы выбрали для А противоположный знак в уравнении (222) (а у нас было право выбора; см. уравнение (219)), то получили бы, что все заряды отрицательны. Во всяком случае, все заряды должны быть одного знака.
Возвращаясь к уравнению (223), заметим, что в случае только одной точечной массы
и мы получим решение Рейсснера — Нордстрема в стандартном виде, записав метрику в сферических координатах и заменив г на (г — М).
Случай двух точечных масс, когда
хорошо иллюстрирует общий случай, поэтому рассмотрим его подробнее. В принятой нами системе координат (х9 у, г) решение для U и метрика (220) не являются регулярными в точках г = = гг и г = г2. Однако сингулярности в этих точках являются координатными, а геометрия в них регулярна. Чтобы показать это, преобразуем сначала метрику к полярным координатам с центром в точке M1 и осью G1 вдоль линии, соединяющей точечные массы M1 и M2 (рис. 47, а). Тогда
где а — расстояние между массами M1 и M2, и метрика принимает следующий вид:
Теперь очевидно, что площадь поверхности небольшой сферы радиуса rl9 окружающей начало координат, при стремлении T1 к нулю (гг -> 0) стремится не к нулю, а к конечному значению 4яМ\ (которому равна и площадь поверхности горизонта событий экстремальной черной дыры Рейсснера — Нордстрема массы M1). Следовательно, гх = 0 не точка, а поверхность, площадь которой равна конечному значению 4яМ\.
Чтобы показать, что геометрия при ^ = O регулярна и что поверхность г± = 0 изотропна, сделаем, следуя Хартлю и Хокингу, еще одно преобразование координат
U = I + Mlr9
(227)
(228)
U= I + MxIrx + M2Kr2i + а2- 2 arx cos 9,)1/2, (229)
ds2 = (dt)VU2 — U2 Udr1)2 + r\ (d9j)2 + + (г2 sin2 0,) (d<p)2].
(230)
t = и + F (гг),
(231)
где
(232)
306
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
Метрика в этих координатах имеет вид
Л 2 W2 і о і і и* — V4 ІА ч2 ds = aJJT- + 2 -JJT dM (Ir1------------^------(Cir1)2 -
- r\u°- [(de,)2 + Sin2 0, (dfp)2]. (233)
а
Рис. 47. Аналитическое продолжение многообразия* через координатную сингулярность при M1 для случая двух заряженных точечных масс (M1 = Q1, M2 — = ?2)- ^ — начало координат в точечной массе M1, координатная сингулярность при T1 = 0 не является точкой, а представляет собой изотропную поверхность, геометрия на которой регулярна, б — расширение многообразия через точку T1 — 0 в область отрицательных значений гг в карте (г'ъ B1, ф). В этой расширенной области M1 отрицательно; масса заключена внутри сингулярной поверхности, которая является истинной точечной сингулярностью. Времени-подобная траектория, приходящая в M1 в карте а, будет продолжаться в том же направлении в области карты б. У нее есть две возможности: или продолжать следовать тем же курсом и в конце концов оборваться в сингулярности, или снова пересечь изотропную поверхность T1 = 0 и попасть в другой мир.
В окрестности T1 = 0
U (ri) — ^ (ri) = M2 cos ©Л/а2 + О (г2), (234)
ds2 -V (r\lМ\) (dw)2 + 2d«drx — (4МХМ2 cos 0х/а2) (drx)2 —
-Mj UdO1)2 + Sin2 O1 (гіф)2] (гх 0). (235)
Регулярность метрики при T1 = 0 теперь очевидна, ясно также, что поверхность T1 = 0 является стационарной и изотропной.
113. Решение уравнений Эйнштейна—Максвелла
307
Поскольку на поверхности г1 = 0 геометрия регулярна, многообразие может быть расширено на область отрицательных значений гх\ времениподобная траектория, приходящая к поверхности T1 = 0 вдоль некоторого направления G1, будет продолжаться вдоль того же направления в область отрицательных значений гг. Если ввести определения (рис. 47, б)
r[ = — rv г' = (г[2 + о,1 -}- 2ar[ cos B1)1/2, (236)
то метрика (в области отрицательных ^1) сохранит свой вид (230), но при этом функцию U (гь O1) нужно будет заменить на
U' (r[, 0,) =1 — Мі/ri + М2га. (237)
Ясно, что функция U' (г\9 0i) обратится в нуль на
поверхности. Простое исследование «эквипотенциальных» поверхностей функции Ut показывает, что поверхность, на которой Ut равно нулю, полностью охватывает начало координат г[ = 0. И на поверхности Uf = 0 метрика сингулярна. Эта сингулярность — истинная, что может быть подтверждено вычислением, например, инварианта FefFefi который расходится на поверхности U' = 0. Действительно (см. уравнение (188)),
FefF‘f = -2|Л,а|2=-2 (grad (У'Д/'2)2, (238)
и этот инвариант явно расходится, когда U' = 0. Более того,
хотя в карте (г[, Oj, <p) U' = 0 представляется поверхностью, в действительности это точка, потому что, вычисляя площадь поверхности, примыкающей изнутри к поверхности Ut = 0, и переходя к пределу, когда эта поверхность стремится к поверхности Uf = 0, находим