Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 10

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 126 >> Следующая


In = I, m m = -1. (172)

Ковариантные компоненты базисных векторов равны Ii = (1/А) (Д, —р2, 0, —а Д sin2 0),

Ui = (1/2р2) (Д, +р2, 0, —а Д sin2 0), (173)

Hii = (l/y 2p) (ia sin 0, 0, —р2, —і (г2 + a2) sin 0).

Спиновые коэффициенты, определяемые уравнениями (286) гл. 1, в выбранном нами базисе удобнее всего вычислить с помощью Х-символов (гл. 1, уравнение (265)). Отличные от нуля A-символы равны

A122 — W — М) P2 — г Д ]/р4, Af243 = — Д/2р2р,

^132 = + V2Iar sin 0/р2р, A324 = —ш Д cos 0/р4,

(174)

Ai34 = —2m cos 0?р2, A334 = +(ш + г cos 0) cosec0/-/?)2,

A2I3 = — |/2а2 sin 0 cos 0/р2р, A341 = —1/р.

Для спиновых коэффициентов получаются следующие выражения: х = сг — A = V = S = О, р = —1/р*, |3 = ctg 0/2¦/”2р, л = ш sin 0/1/2 (р*)2, т = —ш sin Qlyr2р2, (175)

= —Д/2р2р*, у = \i + (г — М)/2р2, a = Jt — (З*.

Равенство нулю спиновых коэффициентов х, сг, А и V показывает, что конгруэнция изотропных геодезических 1 и п бессдви-говая. Из теоремы Гольдберга—Сакса теперь следует, что про-странство-время Керра принадлежит к типу D по классификации Петрова.

Из теоремы Гольдберга—Сакса следует также, что в выбранном нами базисе вейлевские скаляры Y0, xF1, W3 и Y4 равны нулю. Это можно проверить и прямыми вычислениями, свертывая не равные нулю компоненты тензора Римана, перечисленные в уравнениях (142), с векторами I, n, m и m в соответствии с определениями этих скаляров.
56. Описание в формализме Ньюмена—Пенроуза

31

Поскольку в уравнениях (142) компоненты тензора Римана приведены в тетрадном базисе, удобно выразить и базисные векторы через тетрадные компоненты, подвергнув их преобразованию

ООО

- е^> w V,

(О= п 0*0- <176>

Находим /<р) = \ev (г2 + а2)/А,

О

О

яе^р2/!!2,

О

О

О

е

О

О

о

2

е>*«,

— AetlVSp2,

{teva sin 0/)' ?, Ie1Iiр2 (г2 -\- а2)/(|/ 2р S2 sin 0), О,

л<р) = {ev (.г2 -j- а2)/2р2, ае1!’ А/222

0}, 0},

т№ = {ievci sin 0/>/2р, &Фр2 (г2 + a2)/(i/2pS2sin 0), 0, е^г/у^р}-

(177)

При вычислении были использованы соотношения (137).

Используя вышеприведенное представление базисных векторов и уравнения (4) и (139), получаем, например,

— Y0 = RpqrsIPmHr тв =

= Яош [(Vnl “ llm°)2 — (/2m3)2] -f- /?озоз [(/0^3)2 — (/2т*)2] -f~

+ Я 2020 [(/2O2 - (/?3)2] + 2/?133о [(/2)2 /nW - (О2 /0/1] +

+ 2Язоо2 [/2/°т°т3 + l2llmlm*] + 2R230ll2m3 (1°тг — /?0) +

-j- 2R%ml*PmW -f- 2 R20I3I2I1 т°т3 ==

— (р4/Лр2) {— Roioi + Kr2 + #2)2/22] R0303 —

- (a2 A sin2 Є/22) R0202 - [(2а A^/S2) (г2 + a2) sin 6] Я1330} +

+ (ф4/Лр2) {+ ^2301 + [(^2 + а2)2/22] /?2103 +

+ (a2 A sin2 Є/S2) tf2013 + [(2а A^2/22)(r2 + a2) sin Є] R3002]. (178)

Подставляя теперь компоненты тензора Римана из уравнения (142), находим

Vo = 0, (179)

что и требовалось доказать. Подобным же образом проверяется равенство нулю вейлевских скаляров xP1, W3 и xP4.

Значение единственного не равного нулю вейлевского скаляра xP2 можно получить свертыванием тензора Римана с соответствующими векторами изотропного базиса согласно определению. Получаем при этом

^2 = RvqrsIp mW ms =

HlW

^pqrs0

— Roioi I

I1ITl0) (H0In1 — H1Ifl0) — I2H2 I ITl3 I2] -+•

+ Robos [/°п° | Mt |2 - I2H2 \ т1|2] + R0202 [I2H2 \ т° |2 - I1H1 \ т* |2] +
32

Глава 6. Метрика Keppa

+ -Rmo U2ft2 (т1пг° + т1т°) — (Iі п° -\- 1°п1) \ т312] +

+ ^зоо2 [PnPrn0Ih3 1°п2т°пг l2nlmlm3 -|- /???3] +

+ ^2зоі [l2m3 (ri'th1 — O1Ot0) -f- tPih3 (/“m1 — /?0)] +

+ -R2103 [l2n°nivm3 -)- I0H2Ifi1Pi3] -j- /?20із [Pn2In3In0 + l2n1th3m°] = =V2 I + #0101 + [(/-2 + я2)2/22] Яозоз - (а2 Д sin20/22) R0202 -

— [(2а А'/2/Е2) (r2 + а2) sin 6] .R1330I +

H- (г'/2) {- ^2301 4" U^2 Н~ й2)/^2] ^2103 +

-|- (о2 A sin20/22) і?2оіз “І- [(2а А^2/22) (/"2 -)- а2) sin 0] /?зоог} =

= — (Мг/ре) (г2 -- За2 cos2 0) — (іаМ cos 0/р6) (З/"2 -- a2 cos20) =

= - М/(р*)3. (180)

Ha этом мы закончим описание пространства-времени Керра в формализме Ньюмена — Пентроуза, продемонстрировавшее, что эта метрика является алгебраически специальной.

57. Метрика в форме Керра—Шилда

Способ вывода метрики Керра, описанный нами в § 52—54, отличается от использованного Керром в оригинальной работе. Керр искал решения уравнений Эйнштейна специального вида, пригодного для описания алгебраически специальных многообразий. Эта форма метрики в настоящее время называется формой Керра—Шилда и имеет вид

Sn — tIu jT (181)

где т]і;- — метрика плоского пространства-времени, а 1 — изотропный по отношению к этой метрике вектор. Метрика Керра принадлежит к этому классу. Оказывается, именно в форме Керра— Шилда наиболее явно проявляется структура пространства-времени Керра. Исследованию структуры пространства-времени Керра мы предпошлем доказательство того, что метрика вида (181) с необходимостью принадлежит к типу II по классификации Петрова. В дальнейшем изложении мы следуем Ксантопу-лосу.

Сначала некоторые предварительные замечания.

Рассмотрим многообразие, на котором заданы две метрики Sn и g'ij¦ Пусть Vf и Vf — операторы ковариантного дифференцирования относительно каждой из метрик. Для ковариантного вектора Іг, определенного на многообразии, должно существовать соотношение вида
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed