Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
6Л = ip dq, (29)
где через <р обозначено напряжение на конденсаторе, т. е. разность потенциалов между его обкладками. Это напряжение в каждый момент пропорционально заряду конденсатора q:
*-§-? (30)
В этом выражении С = еС0 — емкость конденсатора, равная произведению диэлектрической проницаемости е диэлектрика в зазоре между обкладками на емкость С0 того же конденсатора в отсутствие диэлектрика. В нашем случае основное соотношение (24),
выражающее первый и второй законы термодинамики, записывается в виде
dU = TdS + ydq, (31)
или, после подстановки <р из (30),
dU = TdS + (32)
гС0
Отметим, что внутренняя энергия U рассматриваемой системы (заряженного конденсатора) включает в себя и электростатическую энергию. В принципе с помощью (32) можно было бы получить выражение для этой внутренней энергии, сначала проинтегрировав
§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
167
(32) при постоянной энтропии и добавив затем изменение внутренней энергии при постоянном зараде. Однако практически сделать это затруднительно, поскольку при адиабатическом процессе (5 = const) меняется температура системы, а вместе с ней и диэлектрическая проницаемость е.
Обойти эту трудность можно, воспользовавшись вместо (32) аналогичным соотношением для свободной энергии F. В рассматриваемом случае вместо (28) имеем для dF\
Это соотношение уже легко проинтегрировать при Т = const, так как при постоянной температуре диэлектрическая проницаемость е также неизменна. В результате получаем
Здесь F(T) — свободная энергия системы в отсутствие электрического заряда. Мы не рассматриваем ее зависимость от объема, поскольку считаем, что в интересующих нас процессах изменение объема мало.
С помощью полученного выражения (34) можно вернуться к внутренней энергии. Из (26) имеем
Здесь S(T) — энтропия системы в отсутствие заряда (незаряженного конденсатора), получаемая в результате дифференцирования первого члена в правой части (34). Подставляя (34) и (36) в (35), получаем
Первое слагаемое в правой части (37) — это внутренняя энергия незаряженного конденсатора U(T) = F(T) + TS(T), явное выражение для которой нас здесь не интересует. Второе слагаемое дает вклад во внутреннюю энергию системы, связанный с наличием заряда на конденсаторе.
В электростатике при выводе выражения для энергии заряженного конденсатора мы пренебрегали тепловыми процессами и считали, что энергия заряженного конденсатора равна работе электрических сил, совершаемой при его зарядке. При этом для энергии конденсатора получалось выражение д2/(2гС0). Из выражения (37)
dF = -SdT + Ц?-.
CCq
(33)
(34)
U = F + TS, где энтропию S можно найти с помощью (33):
(35)
(36)
(37)
168
IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
видно, что это справедливо только в том случае, когда диэлектрическая проницаемость е не зависит от температуры. В общем случае энергетические превращения в процессе зарядки конденсатора имеют более сложный характер.
Предположим, что процесс зарядки конденсатора происходит изотермически. В этом случае изменение внутренней энергии, определяемое вторым слагаемым в правой части (37), не равно работе внешних сил <у2/(2еС0). Когда диэлектрическая проницаемость е убывает с ростом температуры (т. е. dt/dT < 0), запасаемая конденсатором зависящая от q энергия меньше работы внешних сил. Это означает, что в процессе адиабатической зарядки температура конденсатора будет повышаться, а при разрядке — понижаться. К выводу о понижении температуры мы пришли, рассматривая обратимые процессы. Поэтому такой эффект может наблюдаться лишь тогда, когда необратимым выделением джоулевой теплоты в веществе можно пренебречь.
Совершенно аналогично можно рассмотреть тепловые процессы, сопровождающие намагничивание и размагничивание магнетиков. Адиабатическое размагничивание парамагнитных солей используется в криогенной технике как метод получения наиболее низких температур, близких к абсолютному нулю.
Зависимость внутренней энергии от объема. Информацию о связи различных термодинамических характеристик можно получать из общих соотношений типа (25) и (28) с помощью формальных математических приемов. Например, с помощью этих соотношений легко найти закон зависимости внутренней энергии системы от ее объема. Действительно, разделив (25) на приращение объема dV, находим
Но из (28) следует, что (dS/dV)T = (dp/dT)v. Поэтому (38) переписывается в виде
Если известно уравнение состояния р = p(V, Т), то (39) позволяет найти явный вид зависимости внутренней энергии от объема. Например, для идеального газа pV = RT, (др/дТ)у = R/V = р/Т и (dl//dV)T = 0: внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема.
