Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Газ в цилиндре, закрытом поршнем, имеет такое же давление, как и окружающий воздух, но более высокую (или более низкую) температуру. Какие процессы следует провести с газом, чтобы получить максимальную полезную работу за счет неравновесности системы? Изобразите их на р— К-диаграмме.
• Рассмотрите две различные схемы динамического отопления, в которых тепловая машина отдает теплоту Q2 либо окружающей среде, либо отапливаемому помещению. Покажите, что в случае, когда все процессы обратимы, обе схемы имеют одинаковую эффективность. Какая схема окажется эффективнее в реальной системе, когда процессы нельзя считать полностью обратимыми?
§19. Методы термодинамики и их применения
В предыдущем параграфе была приведена без доказательства теорема Карно, выражающая максимально возможный коэффициент полезного действия теплового двигателя через температуры горячего и холодного тепловых резервуаров:
(1)
Из второго закона термодинамики следует, что КПД тепловой машины, работающей по обратимому циклу, не зависит от того, какое вещество используется в качестве рабочего тела.
КПД всех обратимых тепловых машин одинаков. Убедиться в этом можно с помощью следующих рассуждений. Предположим
160
IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
противное, т. е. что КПД т] у одной из двух обратимых машин, работающих при заданных температурах Тх и Т2, больше, чем у другой: т] > г]'. Допустим, что за один цикл обе машины отдают холодильнику одинаковые количества теплоты: Q2 = Q'2. Тогда машина, у которой КПД выше, за цикл превращает в работу большее количество теплоты: Qx > и Ау > А[.
Пусть теперь машина с большим КПД работает в прямом, а с меньшим КПД — в обратном направлении, т. е. как холодильная машина. За счет совершения работы А' внешними телами от холодного резервуара отнимается теплота Q'2 и передается горячему резервуару теплота Q[ = Q2 + А1. В результате их совместного действия за цикл получается следующий результат. Холодильник получает от рабочего тела первой машины столько же теплоты, сколько отдает рабочему телу второй (Q2= Q2), т. е. в холодильнике никаких изменений не происходит. Поскольку А{ > А\, то лишь части работы At достаточно для приведения в действие холодильной машины. Нагреватель отдает теплоту Qlt а получает меньшую теплоту Q[, т. е. в целом отдает только Q, — Q[. Итак, теплота QL — Qt, взятая от нагревателя, целиком превращается в полезную работу Ах —а!у, а холодильнику при этом никакой теплоты не передается. Это противоречит второму закону термодинамики в форме постулата Томсона. Значит, предположение, что т] > г]', неверно.
Точно такие же рассуждения покажут, что для обратимых машин окажется неверным и предположение, что rj' > rj. Мы приходим к выводу, что все обратимые машины имеют одинаковый КПД.
Приведенное доказательство теоремы Карно основывалось на предположении об обратимости обеих тепловых машин, означающем, что любую из них можно было заставить действовать в обратном направлении. Если одна из машин, например с КПД rj, необратима, то из приведенных рассуждений следует только, что т] < тр КПД любой необратимой тепловой машины меньше КПД обратимой машины, работающей при тех же температурах Г, и Т2.
Независимость КПД обратимой тепловой машины от рода рабочего тела позволяет для получения формулы (1) выбрать простейшее рабочее тело — идеальный газ.
Для расчета КПД цикла Карно с идеальным газом нам понадобятся выражение для работы, совершаемой идеальным газом в изотермическом процессе, и уравнение адиабаты идеального газа.
Работа идеального газа в изотермическом процессе. Пусть один моль идеального газа изотермически расширяется от объема V, до
§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
161
объема V2. Совершаемая при этом работа выражается определенным интегралом:
A=\p(V)dV. (2)
yi
Давление газа p(V) можно выразить с помощью уравнения состояния: р= RT/V. Поскольку в изотермическом процессе температура постоянна, то выражение (2) принимает вид
А = RT \ ~ = RT In ? . (3)
v, 1
Вывод уравнения адиабаты. Уравнение адиабаты идеального газа можно получить, используя первый закон термодинамики и уравнение состояния. Так как в адиабатическом процессе теплообмен не происходит, то первый закон термодинамики записывается в виде
dU + pdV = 0. (4)
Приращение внутренней энергии dU = CvdT, поскольку внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема. Выражение для dT можно получить из уравнения состояния pV = RT:
р dV + V dp = R dT. (5)
С учетом приведенных выражений для dU и dT уравнение (4) переписывается в виде
CvV dp + Срр dV = 0, (6)
где мы воспользовались тем, что Cv + R = Ср. Введем обозначение для отношения теплоемкостей Ср и Су:
