Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для ультрарелятивистских частиц, энергия Е которых много больше энергии покоя т0с2, соотношение (1) можно приближенно переписать в виде
Е ~ рс (?» т0с2). (3)
Формула (2) выражает скорость релятивистской частицы через ее энергию и импульс. В отличие от формул (1) § 4 эти формулы не теряют смысла даже при v = с и поэтому пригодны для всех без исключения релятивистских объектов. Часто они оказываются более удобными и в практических приложениях.
Движение под действием постоянной силы. В качестве первого примера рассмотрим движение первоначально покоившейся частицы с зарядом q и массой покоя т0 в однородном электрическом поле
напряженности Е. Действующая на частицу сила F постоянна и равна ?Е. Поэтому из закона изменения импульса Др = FAf немедленно следует, что
p = Ff. (4)
Подставляя это выражение для импульса частицы в формулу (1), получим
Е2 = (Ft)2c2 + mgC4. (5)
Теперь с помощью (2) находим скорость частицы v спустя промежуток времени t после начала движения:
vt ,,,
\ = ----¦ . у. (6)
т0\ 1 + (Ftlm0c)
Если Ft/m0c«-1, т. е. электрическое поле слабое или мало время движения, то в подкоренном выражении в (6) можно пренебречь вторым слагаемым, и для скорости получается обычное нерелятивистское выражение:
F
Рис. 13. Скорость частицы при движении в однородном электрическом поле
§ 5. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ
39
Если Ft/m0c^> 1, то под корнем в (6) можно пренебречь единицей по сравнению со вторым слагаемым. Видно, что при этом скорость v стремится к с. На рис. 13 показана зависимость скорости v от времени.
Движение в магнитном поле. Перейдем к рассмотрению движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Поскольку действующая на частицу со стороны магнитного поля сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то скорость не меняется по модулю и, следовательно, не меняется и релятивистская масса частицы т. Поэтому закон изменения импульса частицы запишется в виде
Если скорость v перпендикулярна вектору индукции магнитного поля В, то частица движется по окружности и ее ускорение равно v2/R, где R — радиус окружности. В этом случае уравнение (8) дает
Для угловой скорости обращения шс, связанной с линейной скоростью v обычным соотношением v = соcR, с помощью (9) находим
Выражение (10) имеет такой же вид, как и нерелятивистская формула для угловой скорости обращения в магнитном поле, только в знаменателе стоит релятивистская масса частицы т, связанная с ее массой покоя т0 соотношением
Ускоритель на встречных пучках. В качестве третьего примера рассмотрим ускоритель заряженных частиц на встречных пучках. Выясним, в чем преимущество таких ускорителей по сравнению с обычными ускорителями с неподвижной мишенью, и установим соответствие между кинетической энергией частицы Ек в обычном ускорителе и
эквивалентной энергией Ёх в ускорителе со встречными пучками.
Одной из важнейших характеристик ускорителя является та доля кинетической энергии разогнанных элементарных частиц, которая может быть использована для реакции образования новых частиц. В обычных ускорителях, когда частица-мишень неподвижна, требование сохранения импульса исключает возможность превращения всей кинетической энергии частицы-снаряда в энергетический эквивалент массы покоя новых частиц, образующихся при столкновении. В самом деле, до столкновения суммарный импульс снаряда и мишени отличен от нуля. Такой же суммарный импульс должен быть и после
т~? = ЯуВ,
(9)
т.
40
I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
столкновения. Поэтому образовавшиеся в результате столкновения частицы не могут находиться в покое и, следовательно, часть начальной кинетической энергии снаряда переходит в кинетическую энергию частиц после столкновения.
Однако если сталкивающиеся частицы с равными массами летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то в результате неупругого удара вся кинетическая энергия налетающих частиц может быть использована для рождения новых частиц: поскольку начальный импульс системы равен нулю, то ничто не запрещает покоиться образовавшимся в результате столкновения частицам.
Оценим вначале «выигрыш» в энергии для простого случая столкновения одинаковых нерелятивистских частиц. Используя закон сохранения импульса, легко убедиться, что в этом случае при неподвижной мишени для реакции образования новых частиц может быть использована только половина кинетической энергии налетающей частицы Ек: АЕ = EJ2. Если же столкнутся движущиеся навстречу друг другу частицы с кинетическими энергиями Ек, то для реакции может быть использована вся их кинетическая энергия АЕ = 2ЕК. Таким образом, используя ускоритель, способный разогнать частицы до кинетической энергии Ек, мы можем с помощью накопительных колец повысить эффективность использования кинетической энергии в четыре раза.
