Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Будем считать, что в рассматриваемом нами «скользящем» столкновении скорость и1у частицы 1 в системе К много меньше скорости света, т. е. ее масса в системе К есть масса покоя т0, и Piy = mouiу Написав аналогичное выражение для ^-составляющей импульса в системе К'
р\у = ти'1у,
где коэффициент пропорциональности, т. е. релятивистская масса частицы, обозначен буквой т, видим, что равенство р1у = р[у
36
I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
будет обеспечено, если коэффициенту т в системе отсчета К' приписать значение, даваемое формулой (3):
то
т = ¦¦¦¦:— ,
Vl -v2lc2
т. е. уменьшение поперечной составляющей скорости частицы при переходе от системы К к К.' должно быть скомпенсировано возрастанием коэффициента пропорциональности т между скоростью и импульсом. Из приведенного вывода ясно, что это возрастание релятивистской массы, вызванное движением системы отсчета, действительно связано с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.
Возвращаясь к рис. 12, вспомним, что был рассмотрен случай скользящего столкновения, когда составляющая скорости частицы вдоль оси у была много меньше составляющей ее скорости вдоль оси х. В этом предельном случае входящая в полученную формулу относительная скорость v систем К и К.' практически совпадает со скоростью частицы 1 в системе К'. Поэтому найденное значение коэффициента пропорциональности между у-со-ставляющими векторов скорости и импульса справедливо и для самих векторов. Таким образом, соотношение (3) доказано.
Вывод выражения для энергии. Выясним теперь, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит формула для релятивистского импульса.
В релятивистской механике сила F вводится таким образом, чтобы соотношение между приращением импульса частицы Ар и импульсом силы FAt было таким же, как и в классической физике:
Ар = FA t.
Будем считать, что энергия Ек частицы в релятивистской механике, как и в классической, представляет собой величину, изменение которой на перемещении Аг равно работе действующей силы F:
АЕК = FAr = FvA( = vAp = vA(mv). (7)
Здесь перемещение частицы Аг за время At выражено через ее скорость v. Из формулы (7) и будем исходить при выводе выражения для релятивистской энергии.
Перепишем формулу (3) следующим образом:
m2( 1 - v2/c2) = т2.
Умножив обе части на с2 и раскрыв скобки, получим
m2c2 — (mv)2 = т§с2. (8)
При движении частицы под действием силы F ее скорость и импульс меняются. Для нахождения приращения левой части (8)
§ 5. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ
37
воспользуемся тем, что приращение квадрата любой переменной величины / за малый промежуток времени приближенно равно
Д(/2) = (/ + Д/)2 —/2«2/Д/.
Применяя эту формулу к равенству (8) и учитывая, что правая часть остается при этом неизменной, получаем
2тсА(тс) — 2 т\А(т\) = О,
откуда после сокращения на 2т имеем
А (тс2) = \А(т\). (9)
Правые части в выражениях (7) и (9) совпадают. Поэтому левая часть (9) представляет собой приращение кинетической энергии частицы:
АЕк = А(тс2). (10)
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы
равно приращению ее релятивистской массы, умноженному на
квадрат скорости света. Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, то из дифференциального соотношения (10), определяющего кинетическую энергию с точностью до константы, немедленно следует формула (6). ^
• Как с помощью мысленного эксперимента можно показать, что составляющая импульса частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости двух систем отсчета, одинакова в обеих этих системах? Какую роль при этом играют соображения симметрии?
• Поясните связь зависимости релятивистской массы частицы от ее скорости с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.
• Каким образом можно прийти к релятивистской формуле для кинетической энергии, основываясь на пропорциональности между приращениями кинетической энергии и релятивистской массы?
§ 5. Примеры релятивистского движения частиц
Формулы (1) предыдущего параграфа вместе с уравнениями (2), выражающими закон их изменения, служат основой для рассмотрения любых задач релятивистской механики. Вместо этих формул можно использовать две другие формулы, которые получаются из них исключением скорости v:
E2—p2c2=mlc4 (1)
и почленным делением формул (1) § 4:
38
I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Связь энергии и импульса. Соотношение (1) устанавливает связь между энергией и импульсом частицы в релятивистской механике. Энергия и импульс частицы зависят от системы отсчета. Но правая часть в (1) представляет собой релятивистский инвариант. Это значит, что и стоящая в левой части комбинация Е2 — р2с2 изменяющихся при переходе от одной системы отсчета к другой энергии и импульса остается при таком переходе неизменной.
