Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 35. ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
291
коллектива электронов проводимости требует обязательного привлечения квантовых закономерностей.
Принцип Паули и электроны в металлах. Рассмотрим подробнее свойства электронов проводимости в металлах, считая для простоты, что их эффективная масса изотропна, а число электронов проводимости в образце равно числу атомов металла N. Именно так обстоит дело, например, у щелочных металлов. Хотя поведение отдельного электрона проводимости в кристалле очень сходно с поведением классической свободной частицы, свойства коллектива таких электронов резко отличаются от свойств классического газа. Причина этому — принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона.
Принцип Паули приводит к тому, что даже при абсолютном нуле температуры электроны не могут находиться в состоянии покоя, так как нельзя все электроны поместить в состояние с равным нулю импульсом. Оказывается, что уровню энергии с нулевым импульсом соответствуют только два различных квантовых состояния. Поэтому только два из N электронов могут иметь равные нулю импульс и энергию. Всем остальным электронам придется занимать состояния с отличным от нуля импульсом и энергией.
Импульс Ферми. При температуре Т = О К система электронов будет иметь наименьшую возможную энергию, если все состояния с импульсами, меньшими некоторого предельного значения, называемого импульсом Ферми pF, будут заняты, а все состояния с бблыыими импульсами — пусты. Функция распределения электронов по состояниям /(р), дающая вероятность заполнения данного состояния с импульсом р, будет, следовательно, при Т = О К равна единице при |р| pF и равна нулю при |р| > р^ (рис. 113).
Значение импульса Ферми зависит от объемной концентрации электронов в зоне проводимости п = N/V, где V — объем образца. Характер этой зависимости можно установить на основании соотношений неопределенностей Гейзенберга. Пусть образец металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами Lx, Ly, Lz. Для электрона, находящегося внутри образца, наибольшая неопределенность в значении х-координаты равна размеру образца в этом направлении; поэтому наименьшая неопределенность его х-компоненты импульса Арх определяется соотношением
Рис. 113. Функция распределения электронов при абсолютном нуле температуры
292
VII. ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Такие же соотношения справедливы и для Дру, Apz. Поэтому для произведения неопределенностей имеем
АРхАРуА = (2)
Поскольку Дрх есть наименьшая неопределенность значения рх, совместимая с условием пребывания электрона внутри образца, то это — та наименьшая величина, на которую следует изменить значение рх для того, чтобы можно было считать, что электрон находится в другом квантовом состоянии. Поэтому произведение АрхАруАрг дает объем ячейки в пространстве импульсов, в пределах которой при изменении импульса электрона его состояние не меняется. Это означает, что N электронов в соответствии с принципом Паули занимают в пространстве импульсов объем, пропорциональный NApxApyApz. В соответствии с (2)
NApxApyApz я» N y — h3n. (3)
В основном состоянии энергия системы электронов имеет наименьшее возможное значение. Энергия каждого электрона е(р) = рг/2т', если эффективная масса т* изотропна. Поэтому при
Т = О К будут заполнены все состояния в пространстве импульсов,
лежащие внутри сферы радиуса р?. Этот радиус можно найти, приравнивая объем части пространства импульсов, даваемой формулой (3), объему шара радиуса р? с центром в начале координат: (4/3) лрр. Поэтому р\ «к h3n, откуда
pF » hnm. (4)
Энергия Ферми. Наибольшая энергия, которую может иметь электрон, проводимости в металле при Т = О К, это энергия электрона с р= р?:
= (5)
2т т
Она называется энергией Ферми. Интересно сравнить энергию Ферми ef с характерной тепловой энергией кТ. Для типичных металлов концентрация электронов проводимости составляет около 1021— 1023 см-3, а эффективная масса ш* близка к массе свободного электрона. Поэтому по формуле (5) легко подсчитать, что eF оказывается порядка нескольких электронвольт. Легко убедиться, что тепловая энергия кТ становится сравнимой с энергией Ферми только при температурах приближающихся к 50 ООО К! Для всех металлов при всех температурах вплоть до точки плавления кТ «зс eF.
§ 35. ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
293
Нетрудно подсчитать скорость электрона, обладающего энергией Ер. Она оказывается равной примерно 106 м/с. Таким образом, вследствие принципа Паули электроны проводимости в металле при абсолютном нуле температуры отнюдь не покоятся. Но все же их максимальная скорость в сотни раз меньше скорости света, что оправдывает использование для электронов в металлах представлений нерелятивистской физики.
